Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Теорема 4. Агар (1) тенгламанинг да чизикли боглик булмаган ечимлари булса ,у холда унинг Вронский детерминанти курилаётган ораликнинг хеч бир нуктасида нолга тенг булмайди яъни

Исбот. Тескарисинча фараз этайлик нуктасида булсин.
Куйидаги тенгламалар системасини тузамиз.
(7)
бунда булганда .
Агар (7) системада ларни номалум деб карасак, ларга нисбатан n номаълумли n та бир жинсли чизикли алгебраик тенгламалар системага эга буламиз. Бу системани асос детерминати Вронский детерминатидан иборат булиб фаразимизга асосан булгани учун (7) системадан тривиал булмаган
ечимларга эга буламиз.
У холда (7) дан
(8)
эга буламиз.
Куйидаги функцияни тузамиз
(9)
Теорема1,2 ва унинг натижасига асосан (9), (1) тенгламанинг ечими булади.(9) дан n-1 марта хосила олиб, сунгра унда десак (8)га асосан
(10)
га эга буламиз.(10) бошлангич кийматлар мавжудлик теоремасига асосан ,(1) тенглама факат ечимга эга булишлигини курсатади. У холда (9) дан, x нинг оралигидаги хамма кийматлари учун

айниятга эга буламиз яъни лар чизикли богланган.Бу карама-каршилик теоремани тугрилигини исбот этади.
Таъриф. n –нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенгламанинг n та чизикли богланмаган ечимларига ,тенгламанинг фундаментал ечимлар системаси дейилади.
Теорема 5. Коэффициентлари узлуксиз булган хар кандай n-нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенгламалар, фундаментал ечимлар системасига эга.
Исбот. n² та a_ik (i,k= ) сонларидан нолга тенг булмаган детерминант тузамиз.
(11)
(1) тенгламанинг хусусий ечимларини булганда бошлангич шартлар ёрдамида аниклаймиз. У холда (11) га асосан улардан тузилган Вронский детерминанти нолга тенг булмайди.4 теоремага асосан ,курилаётган ораликда x нинг хамма кийматларида хам Вронский детерминанти нолга тенг булмайди. Демак бу курилаётган ораликда функциялар чизикли богланмаган буладилар,яъни улар тенгламанингфундаментал ечимлар системасини ташкил этади.