Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

МАЪРУЗА 14, 15, 16,
n – нчи тартибли чизиќли дифференциал тенгламалар ва уларнинг хоссалари. Мавжудлик ва ягоналик теоремаси.


Таянч иборалар
Чизикли тенглама, юкори тартибли тенглама,Липшиц шарти ,мавжудлик ва ягоналик шарти, ечим хоссалари ,чизикли боглик, Вронский детерминанти, фундаментал ечимлар системаси, ечим, хусусий ечим, умумий ечим, бир жинсли ва бир жинсли булмаган чизикли дифференциал тенгламалар.

n-нчи тартибли чизикли дифференциал тенглама (чдт) деб, лар биринчи даражада булган

(1)
тенгламага айтилади.
Бунда курилаётган ораликда аникланган ва узлуксиз функциялардир.Агар курилаётган ораликда x нинг хамма кийматларида булмаса ,бу холда (1) тенгламанинг хар иккала томонини га булиб уни

куринишда ёзиш мумкин.
Бунда
Агар булмаса (2) тенгламага n- нчи тартибли бир жинсли булмаган чизикли дифференциал тенглама дейилади.
Агар булса

тенгламага n- нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенглама дейилади.
(аникроги (2) тенгламага мос булган бир жинсли чизикли дифференциал тенглама ) Чизикли дифференциал тенгламалар ќуйидаги хоссаларга эга:
1Хосса.. Агар чизикли дифференциал тенгламада аргументни ихтиёрий
(4)
чизикли алмаштирсак, хосил булган тенглама яна чизикли дифференциал тенглама булади.
Бунда курилаётган ораликда n марта узлуксиз дифференциалланувчи функция булиб, бу ораликда

Худди шунга ухшаш.

Худди шундай давом эттирсак хосилани коэффициентлари t нинг узлуксиз функцияси булган

хосилалар оркали чизикли алмаштириш мумкин булади.
Бу топилган кийматларни (2) тенгламага куйсак ва ихчамласак

тенгламага эга буламиз.
2 хосса. Агар чизикли дифференциал тенгламада номаълум функцияни ихтиёрий
(5)
чизикли алмаштирсак, хосил булган тенглама яна чизикли дифференциал тенглама булади.
Бунда функциялар марта узлуксиз дифференциаланувчи функциялардир.
Хакикатдан хам, (5) дан

Буларга асосан (1) тенгламани соддалаштирган сунг уни куйидагича ёзиш мумкин.

Мавжудлик ва ягоналик теоремаси
(2)
Агар (2) тенгламада хамма коэффициентлар ва функция интервалида узлуксиз булсалар, у холда (2) тенглама х=х₀ ,булганда
бошлангич шартларни каноатлантирувчи ягона ечимга эга булиб, бу узининг n- тартибли хосиласи билан ораликда аникланган ва узлуксиз булади. (Пикар теоремаси).
Бу теоремани бошкача хам баён этиш мумкин.
(2) тенгламани

(7)
Теорема. Агар F функция ёпик Д сохада узининг барча аргументларига нисбатан узлуксиз ва унда узгарувчилар буйича Липшиц шартини каноатлантирса , у холда D соханинг ихтиёрий нуктасида (6) тенглама ягона ечимга эга булиб, бу ечим нукта атрофида аникланган ва узлуксиз булади, хамда (7) бошлангич шартни каноаталантиради.
n