Birinchi tur sirt integrallari 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi

2⁰. Ostrogradskiy formulasi. Bu formula fazoda chega­ra­langan jism (to’plam) bo’yicha olingan uch karrali integralni shu jismni o’rab turuvchi yopiq sirt bo’yicha olingan sirt integrali bilan bog’lanishini ifodalaydi.
Aytaylik, to’plam ushbu
,
sirtlar hamda yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bilan chegaralangan to’plam bo’lib, bu silindrik sirtning tekislikdan ajrat­gan qismi to’plamni ifodalasin. Bunda

uchun

deylik. Bu holda jismni o’rab turgan sirt - tenglama bilan aniqlangan sirt,

tenglama bilan aniqlangan sirt va yasovchilari o’qiga parallel, yo’nal­ti­ruv­chi­lari bo’lgan silindrik sirt dan iborat bo’ladi. (4-chizma)

4-chizma
Aytaylik, da funksiya aniqlangan bo’lib, u da uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin. Bu holda funksiyaning to’plam bo’yicha uch karrali integ­rali mavjud bo’lib, 87-ma’ruzada kelti­ril­gan formulaga ko’ra

bo’ladi. Ravshanki,

Demak,
(11)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi ikki karrali integral­larni sirt integrallari orqali yozamiz:


, (12)
. (13)
(12) da integral sirtning ustki tomoni bo’yicha, (13) da esa integ­ral sirtning ostki tomoni bo’yicha olingan. Ravshanki,
(14)
YUqoridagi (11), (12), (13) va (14) munosabatlardan
(15)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi yopiq sirt bo’yicha integral ning tashqi tomoni bo’yicha olingan.
Xuddi shunga o’xshash fazoda to’plam (jism), uni o’rab turuvchi sirt va da berilgan , funksiyalar uchun tegishli shartlarda
(16)
bo’lishi ko’rsatiladi.
(15) va (16) tengliklarni hadlab qo’shib topamiz:
(17)
(17) formula Ostrogradskiy formulasi deyiladi.