Birinchi tur sirt integrallari 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi

1-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda sirt

sirtning tekis­lik bilan kesilgan chekli qismi.
◄Ravshanki sirt tenglamasi ko’rinishdagi sirt (1-chizma).

1-chizma
Berilgan integralni (3) formuladan foydalanib hisob­lay­miz.
Ravshanki,

bo’lib,

bo’ladi.
sirtning tekislikdagi proyeksiyasi

bo’ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:
.
Endi ikki karrali integralni hisoblaymiz:

.
Demak,
. ►
3⁰. Birinchi tur sirt integralining xossalari. Birinchi tur sirt integrali ikki karrali integral xossalari kabi xossa­larga ega bo’ladi.
4⁰. Birinchi tur sirt integralining tadbiqlari. Birinchi tur sirt integrali yordamida sirtlarning yuzi, massali sirtning massasi, og’ir­lik markazlari, inersiya momentlari topiladi. Quyida ularning topish formularini keltiramiz.
Ta’rifga binoan,

bo’ladi.
Aytaylik, sirt bo’yicha zichlik bo’lgan massa tarqa­til­gan bo’lsin. Bunday sirtning massasi
, (9)
og’irlik markazining koordinatalari
, ,
, , o’qlariga nisbatan inersiya momentlari
,
,

bo’ladi.
Ikkinchi tur sirt integrallari


1⁰. Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasi. Aytaylik, fazodagi sirt ushbu
(1)
tenglama bilan aniqlangan bo’lsin, bunda funksiya chegarasi bo’lakli-silliq chiziqdan iborat to’plamda uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega. Ma’lumki, bu ikki tomonli sirt bo’lib, uning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud.
sirtda uning chegarasi bilan kesishmaydigan yopiq chizig’ini olaylik. Bu chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi bo’lsin. Aytaylik, nuqta sirtning yopiq chiziq bilan chegaralangan qismi­ga tegishli bo’lsin. Agar bunday nuqtalardagi normal o’qi bilan o’tkir burchak tashkil etsa (bunda sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo’ladi) va yopiq chiziqlarning yo’nalishlari musbat bo’lib, bilan chegara­lan­gan shaklning yuzi musbat ishora bilan olinadi.
Agar nuqtadagi normal o’qi bilan o’tmas burchak tashkil etsa (bunda sirtning ostki tomoni qaralayotgan bo’ladi) uning manfiy yo’nalishiga ning musbat yo’nalishi mos kelib, bilan chega­ra­langan shaklning yuzi manfiy ishora bilan olinadi.
Faraz qilaylik, sirtda funksiya berilgan bo’l­sin. Bu sirtning ma’lum bir tomonini olib, uning

bo’laklashni qaraylik. bo’laklashning har bir bo’lakchasiga tegishli bo’l­gan ixtiyoriy nuqtasidagi funksiyaning qiy­mati ni ning tekisligidagi proyeksiyasi ning yuzi ga ko’paytirib quyidagi

yig’indini tuzamiz.
Ravshanki, bu yig’indi funksiyaga, bo’laklashga, hamda olin­gan nuqtalarga bog’liq bo’ladi.