Birinchi tur sirt integrallari 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi

Birinchi tur sirt integrallari


1⁰. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi. Fazoda ushbu
(1)
tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Bunda funksiya to’plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Ma’lum­ki, (1) sirt yuzaga ega bo’lib, uning yuzi

bo’ladi.
Aytaylik, sirtda funksiya berilgan bo’lsin. sirt­ni undagi chiziqlar yordamida bo’lakchalarga ajra­tib, uning

bo’laklashini hosil qilamiz. Bu bo’laklashning diametrini deylik. Endi har bir da ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni ning yuzi ga ko’paytiramiz. So’ng quyidagi
(2)
yig’indini tuzamiz. Ravshanki, bu yig’indi funksiyaga, bo’lak­lashga ham­da nuqtaga bog’liq bo’ladi:

Odatda, (2) yig’indi funksiyaning integral yig’in­disi (Riman yig’indisi) deyiladi.
1-ta’rif. Agar olinganda ham shunday topilsaki, sirtning diametri bo’lgan har qanday bo’lak­lash uchun tuzilgan yig’indi ixtiyoriy nuqtada

tengsizlikni bajarsa, funksiya sirt bo’yicha integ­ral­lanuvchi deyi­lib, son esa funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyi­ladi. Birin­­chi tur sirt integrali quyidagicha

kabi belgilanadi:
.
Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, birinchi tur sirt integrali sirt­ning tomoniga bog’liq bo’lmaydi. Xususan, bo’lsa,



bo’ladi.
2⁰. Birinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisoblash. Aytaylik, funksiya (1) tenglama bilan beril­gan sirt­da aniqlangan bo’lsin.
1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo’yicha birinsi tur sirt integrali mavjud va
(3)
bo’ladi.
◄ sirtning ixtiyoriy bo’laklashini olib unga nis­ba­tan integral yig’indi

ni tuzamiz.

bo’laklash bo’lakchalari larning tekislikdagi proyeksiyalari lar to’plamning bo’laklashini hosil qiladi.
Ma’lumki, , .
(2) formulaga ko’ra

bo’ladi.
O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

bunda .
Natijada integral yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi.
. (4)
Bu tenglikning o’ng tomondagi yig’indi ushbu
(5)
ikki o’zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig’indisi
(6)
ni eslatadi. (4) va (6) yig’indilarni solishtirib ularning farqi (6) integral yig’indida nuqta ixtiyoriy bo’lgan holda (4) yig’in­dida esa nuqta o’rta qiymat haqidagi teorema­ga muvofiq bo’l­gan tayin nuqta bo’lishidadir. (5) funksiya to’plamda uzluksiz, binobarin u to’plamda integrallanuvchi bo’lganligi sababli





bo’ladi.
Demak,
. ►
Agar fazodagi sirt ushbu

tenglama bilan aniqlangan bo’lib, bunda funksiya uzluk­siz va uzluk­siz , xususiy hosilalarga ega bo’l­sa, bu sirtda uzluk­siz bo’lgan funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va
(7)
bo’ladi.
Agar fazodagi sirt ushbu

tenglama bilan aniqlangan bo’lib, bunda funksiya uzluksiz va uzluk­siz , xususiy hosilalarga ega bo’lsa, bu sirtda aniq­lan­gan uzluksiz funksiyaning birinchi tur sirt integrali mav­jud va
(8)
bo’ladi. Bu tasdiqlar yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbot­lanadi.
Birinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga kelti­ri­lib, (3), (7) va (8) formulalar yordamida hisoblanadi.