Birinchi tur sirt integrallari 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi

Stoks va Ostrogradskiy formulalari


1⁰. Stoks formulasi. Fazoda ushbu
(1)
(1) tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Uning tekislikdagi proyeksiyasi to’plamni (shaklni) hosil qilsin. sirt va shakl­ning chegaralovchi yopiq chiziqlarni (kontur­larni) mos ravishda va deylik. Ravshanki, ning proyeksiyasi bo’ladi.
Sirt tomoni va konturi yo’nalishlari uning proyeksiyalari yo’nalishlari orasi­dagi muvofiqlik 3- chizmada keltirilgan.

3-chizma
Aytaylik, (1) tenglamadagi funksiya to’plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.

Faraz qilaylik, sirtda funksiya aniqlangan bo’lib, u uzluksiz va uzluksiz

xususiy hosilalarga ega bo’lsin. Ravshanki, bunday holda ushbu

egri chiziqli ushbu integral mavjud bo’ladi. Bunda kontur yo’nalishning sirt tomoni bilan muvofiqligi 29-chizmada ifodalangan.
Modomiki, kontur sirtga tegishli ekan, unda ning nuqtalari tenglamani qanoatlantiradi. Binobarin, da funksiya bo’lib, u da berilgan ikki o’zgaruvchili funksiyaga aylanadi. Shuning uchun
(2)
bo’ladi.
Grin formulasi (qaralsin, 93-ma’ruza) dan foydalanib topamiz:
.
Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral ostidagi xususiy hosila quyidagicha

bo’lib,

bo’ladi.
Ma’lumki, sirtning ustki tomoni qaralganda uning normalining yo’naltiruvchi kosinuslari
, ,
bo’ladi. Bu munosabatlardan

bo’lishi kelib chiqadi. Natijada
(3)
bo’ladi.
Endi keyingi tenglikdagi ikki karali integralni avvalgi ma’ruza­da keltirilgan

formuladan foydalanib ikkinchi tur sirt integrali orqali quyidagicha


(4)

yozib olamiz. So’ng bu ikkinchi tur sirt integrali uchun, birinchi va ikkin­chi tur sirt integrallarini o’zaro bog’lovchi ushbu

(5)

formulalarga ko’ra
(6)
bo’lib, bu tenglikdagi birinchi tur sirt integrallari yana (5) for­mu­la­lar­ga binoan
(7)
bo’ladi. YUqoridagi (2), (3), (4), (6) va (7) munosabatlardan
(8)
bo’lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o’xshash sirt va unda aniqlangan , funksiyalar uchun tegishli shartlarda
(9)
bo’lishi ko’rsatiladi.
(8) va (9) tengliklarni hadlab qo’shib topamiz:

(10)
.

(10) formula Stoks formulasi deyiladi.

Stoks formulasi sirt bo’yicha olingan sirt integralini shu sirt­ning chegarasi yopiq egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integ­ral ora­sidagi bog’lanishni ifodalaydi.