Misol. funksiyalar sinfi
(
tenglamaning umumiyyechimi bo’lishini isbotlang.
Yechimi. Funksiyani tenglamaga qo’yib, quyidagini olamiz:
(
Berilgan funksiya tenglikni barcha larda ayniyatga aylantirdi.
Endi biz tenglamaning ixtiyoriy yechimini berilgan funksiyalar sinfiga tegishli ekamligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, yechim bo’lgani uchun tenglamani qanoatlantiradi.
(
Yoki
funksiyaning hosilasi nolga teng ekanligini ko’rsatamiz:
=
= =0.
Bunda esa ekanligi kelib chiqadi, va demak,
=
Shunday qilib, berilgan funksiyalar sinfi tenglama uchun umumiy yechim ekan.
Birinchi tartibli differensial tenglama
(3)
ko’rinishida ham berilishi mumkin, bunda va funksiyalari tekislikning ba’zi bir D oblastida aniqlangan ma’lum funksiyalar. Bu (3) tenglamasi birinchi tartibli tenglamaning differensial ko’rinishi deb ataladi.
Agar (3) tenglamani chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensiali bo’lsa,
U holda (3) tenglama to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Ba’zida bu tenglama simmetrik deb ataluvchi shaklda yoziladi:
(4)
Do'stlaringiz bilan baham: |