Birinchi tartibli tenglamaning chap tomoni faqat

Birinchi tartibli tenglamaning chap tomoni faqat x,y va ga bog’liq bo’lishi mumkin bo’lgani uchun birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ldi:

(1)

Oatda (1) tenglamani xosilaga nisbatan yechilgan

(2)

shaklidgi yoki differensial ishtirok etgan

(3)

shaklida ifodalab olishga xarakat qilinadi.

(2) shakldan (3) ga, va aksinchi, o’tish oson. Xaqiqatan, agar (2) tenglamda ni bilan almashtirib va tenglamaning ikkala tomonini dxga ko’paytirib, xamma xadlarni bir tomonga o’tkazsak, ushbu ifodani xosil qilamiz:

bu (3) ning o’zidir, bu yerda , . Aksincha, agar (3) tenglamaning birinchi xadini o’ng tomonga o’tkazib va deb faraz qilib, tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lsak,

ni, yani (2) ko’rinishni xosil qilamiz, bu yerda

.

Shunday qilib, (2) va (3) ifodalar butunlay teng kuchlidir. Amalyotda qaysi xol uchun ularning qaysi biri qulay bo’lsa, shunisidan foydalanamiz.

Biror bir funksiyani ajratib ko’rsatish uchun funksiya argumentini birorta qiymatiga mos keladigan qiymatni ko’rsatish kerak, yani da ko’rinishdagi shart berilishi kerak. Bunday shart boshlang’ich shart deyiladi. Ko’pincha u quyidagi ko’rinishda yoziladi:

. (4)

Tarif. (2) differensial tenglamaning (4) shartni qanoatlantiruvchi yechimi (agar bu yechim mavjud bo’lsa) [yoki integrali] differensial tenglamaning berilgan shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi (yoki xususiy integrali) deyiladi.

Funktsiyaning argumentini boshlang’ish qiymatiga mos keladigan boshlang’ich qiymatini ixtiyoriy berish mumkin ning o’zgarishi bilan yechim ham o’zgarib boradi, bu yechim faqat x argumentninggina emas, balki ixtiyoriy kattalikning ham funksiyasi bo’ladi. Biroq tenglama yechimi ixtiyoriy C o’zgarmasni boshlang’ich qiymat sifatida o’z ichiga olmasligi hamma vaqt ham shart emas.