|
Laplasning integral teoremasi. Eslatib о‘tamizki, Bernulli sxemasida dastlabki ta tajribada muvaffaqiyatlar soni va bu sonning ga yetng bо‘lish ehtimolligi
.
Yuqorida isbotlangan Teorema 3.1 bizga ehtimollikning nomer cheksiz oshgandagi holatini baholash imkonini beradi. Boshqacha aytganda, bu teorema ehtimollikning lokal xossalarini xarakterlaydi. Ushbu paragrafda biz miqdorning taqsimot funksiyasini о‘rganamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritib olaylik:
,
,
.
Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli:
.
Isbot. Deyarli ravshanki,
, (3.12)
bu yerda xuddi yuqoridagi kabi
.
Agar deb belgilasak, va belgilashlarimizga kо‘ra
,
bu yerda har qanday uchun
.
Oxirgi tenglikdan (3.12) formulada foydalansak, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tayinlangan va sonlari uchun
(3.13)
bu yerda
,
.
Dastlab ifodani baholaylik. Ravshanki, bо‘lganda va Rimanning integral yig‘indisi xossasiga kо‘ra
. (3.14)
Endi hadni baholaymiz. Bizga ma’lumki, har qanday uchun
. (3.15)
(3.14) va (3.15) munosabatlardan foydalanib, topamiz:
Oxirgi munosabatni (3.13) va (3.14) tasdiqlar bilan birgalikda qarasak,
(3.16)
yaqinlashishning tо‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Endi (3.16) natijaning uchun ham tо‘g‘ri ekanligini kо‘rsatib, teorema isbotini yakunlaymiz. (3.15) tengsizlikka kо‘ra har qanday uchun chekli soni shunday katta tanlab olish mumkinki,
tengsizlik bajariladi. U holda
. (3.17)
О‘z navbatida (3.16) yaqinlashishga kо‘ra о‘sha soni bо‘yicha nomerni shunday katta tanlab olish mumkinki, barcha va uchun
. (3.18)
Ravshanki,
.
Shuning uchun yana о‘sha soniga kо‘ra chekli sonini shunday katta tanlab olish mumkinki,
tengsizlik bajariladi. Demak,
. (3.19)
Oxirgi tengsizlikda
va
.
Shunday qilib, uchun (3.17)–(3.19) baholardan foydalanib, quyidagi munosabatlarni hosil qilamiz:
Bu yerdan
ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.
XULOSA
Bernulli bog‘liqsiz tajribalar seriyasida muvaffaqiyatlar taqsimotining asimptotik xossalarini о‘rganishga bag‘ishlangan.
Ishning asosiy mazmuni referativ xarakterda bо‘lsada, unda keltirilgan Teorema 1 yangi natijadir.
Ishning mazmuni ikkita bobda bayon etilgan. Birinchi bobda Bernulli sxemasining asosiy g‘oyasi va bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligida hodisa rо‘y berish ehtimolligi uchun formula keltirib chiqarilgan. Bu formulani biz Bernulli formulasi deb ataymiz. Bernulli formulasi ehtimolliklar nazariyasining klassik formulalaridan biri bо‘lib, u nisbatan kichik sondagi tajribalar seriyasida hodisa ehtimolligini bevosita hisoblash imkonini beradi. Xususan, birinchi bobda isbotlanagn Teorema 1.1 da muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beruvchi formula keltirilgan.
Biroq, tajribalar soni ortgan sari bu formulani qо‘llashdagi hisob-kitoblar hajmi ortib boradi va buning natijasida mazkur formula uchun asimptotik kо‘rinishni topish zaruriyati paydo bо‘ladi. Birinchi bobda isbotlanagn Teorema 1.2 da bunday asimptotik kо‘rinish olingan. Bu teoremaga kо‘ra tajribalar soni cheksiz ortganda tayinlangan sondagi muvaffaqiyatlar ehtimolligining taqsimoti Puasson qonuniga bо‘ysunishi isbotlangan. Puasson qonuni, о‘z navbatida diskret taqsimot qonuni xisoblanib, bu qonun ehtimolliklar nazariyasining qо‘llanilishlari bilan bog‘liq qator masalalarda muhim tadbiqlarga ega.
Bernulli sxemasining g‘oyasiga kо‘ra hodisa chastotasining statistik turg‘unligi xossasi tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda namoyon bо‘ladi. Bunday qonuniyatni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni deb nomlanadi. Katta sonlar qonuni ehtimolliklar nazariyasi tarixida isbotlanagn birinchi teoremadir. Bitiruv malakaviy ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonunining turli xil variantlarini о‘rganishga bag‘ishlangan.
Ishning asosiy mazmuni quyidagi natijalarda о‘z aksini topgan.
Teorema 1.1. Bernulli sxemasida ta tajribada muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda bо‘lishi ehtimolligi
,
uchun ushbu
formula о‘rinli.
Do'stlaringiz bilan baham: |
