Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni haqida. Oldingi paragrafda о‘rganganimiz Bernullining katta sonlar qonuniga kо‘ra marta о‘tkazilgan о‘zaro bog‘liqsiz tajribalarda muvaffaqiyatlar nisbiy chastotasi tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda ehtimollikka taqsimot bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni
.
О‘z navbatida ma’lumki, taqsimot bо‘yicha yaqinlashishdan birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashish kelib chiqmaydi. Shuning uchun Bernulli teoremasidan

ekanligi kelib chiqmaydi. Boshqacha aytganda

tenlik birga teng ehtimollik bilan bajarilmaydi. Umuman olganda, biror ketma-ketlikning miqdorga taqsimot bо‘yicha yaqinlashishi hech bir uchun limitning mavjud bо‘lmasligini istisno etmaydi. Biroq katta sonlar qonunida biz mutlaqo boshqacha holatni kо‘ramiz. YA’ni, taqsimot bо‘yicha yaqinlashish birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashish bilan almashtirilsa, oxirgi uchta teorema tasdig‘i о‘z kuchida qoladi.
Shu tariqa hosil qilingan tasdiqlar Teorema 2.4, 2.5, 2.6 larning kuchaytirilgan variantlaridir. Haqiqatan, ma’lumki, deyarli yaqinlashishdan taqsimot bо‘yicha yaqinlashish kelib chiqadi; teskari tasdiq о‘rinli emas. Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni deganda umumiy nomdagi katta sonlar qonuni nomi bilan ataluvchi teoremalarning yuqorida keltirilgan ma’nodagi kuchaytirilishi orqali hosil qilingan teoremalar guruhini tushunamiz.
Quyida bunday teoremalarning ayrimlarini isbotsiz keltiramiz.
Teorema 2.7 (Kolmogorovning kuchaytirilgan katta sonlar qonuni). Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, ular chekli matematik kutilmaga ega bо‘lsin. U holda ushbu

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da songa birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni


.
Keltirilgan teorema Xinchin katta sonlar qonunining kuchaytirilganidir. Demak Xinchin teoremasi Kolmogorov teoremasidan kelib chiqadi.
Eslatib о‘tamizki, yuqorida olingan barcha teoremalarda qaralayotgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan bо‘lib, matematik kutilmaning chekli ekanligi talab qilindi. Oxirgi shartdan voz kechilgan boshqa holni qaraylik. tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan bо‘lib, matematik kutilma cheksiz, ya’ni bо‘lsin. Bu holda ham Kolmogorovnining kuchaytirilgan katta sonlar qonuni quyidagi kо‘rinishda о‘rinli.
Teorema 2.8. Ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan bо‘lib, ular cheksiz matematik kutilmaga ega bо‘lsin, ya’ni . U holda ushbu

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi da ga birga teng ehtimollik bо‘yicha yaqinlashadi, ya’ni
.
Agar shartdan voz kechib, deb hisoblasak, bu hol uchun Teorema 2.8 ning natijasi sifatida Xinchinning kuchaytirilan katta sonlar qonuni kelib chiqadi.