Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Diskret tasodifiy miqdorlar. tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb uning qabul qilishi mumkin bо‘lgan barcha qiymatlari va mos ehtimolliklari majmuiga aytiladi. Har qanday tasodifiy miqdor о‘zinnig taqsimot qonuni bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval, formula yoki grafik kо‘rinishida berilishi mumkin.
Taqsimot qonunining nugtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqdan iborat grafigi taqsimot poligoni deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ravishda ehtimolliklar bilan qabul qiladigan deskret tasodifiy miqdor bо‘lsa, u holda uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:

Bu yerda ning dan kichik bо‘lgan qiymatlarining ehtimolliklari yig‘indisi olinadi.
Quyida diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi kо‘rinishi keltirilgan:

diskret tasodifiy miqdorning oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi bо‘ladi.


Tasodifiy miqdor funksiyasining taqsimot qonuni. Diskret hol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:

- haqiqiy argumentning monoton funksiyasi bо‘lsin. U holda tasodifiy miqdorning funksiyasi bо‘lgan diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:

Uzluksiz hol. – taqsimot funksiyasi va zichlik funksiyasi bilan berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bо‘lsin. - monoton о‘suvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha topiladi:

Oxirgi tenglikni bо‘yicha differensiallab, quiydagini hosil qilamiz:
,
bu tenglikdan uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi uchun formula kelib chiqadi:

- monoton kamayuvchi funksiya, - unga teskari funksiya bо‘lsin. U holda yuqoridagi mulohazalardan sо‘ng quyidagi formulani hosil qilamiz:
; .
Shunday qilib, agar uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan bо‘lib, differensiallanuvchi, monoton о‘suvchi yoki monoton kamayuvchi funksiya va unga teskari funksiya bо‘lsa, u holda tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi tenglikdan aniqlanadi:

Amaliyotda asosan - monoton funksiya bо‘lgan holda qо‘llaniladi.
Agar - funksiya aniqlanish sohasida monoton bо‘lmasa, u holda bu sohani funksiya monotonik oraliqlariga bо‘linib, har bir monotonik oralig‘i uchun zichlik funksiyasini aniqlash va yig‘indi shaklida tasvirlash kerak bо‘ladi.