Baxshullayev Alisherning " Matematika "

BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI

Iqtisodiyot fakulteti 9-2 JMS-20 guruh talabasi

Baxshullayev Alisherning “ Matematika” fani

Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari mavzusida yozgan



REJA

1. BERNULLI,  PU A SSO N   FORMULALARI

2. Muavr-Laplasning integral teoremasi

3. Maxsus  funksiyaga  murojat:

Aytaylik,  b iro r  A  hodisaning  k etm a-ket  o'tkazilayotgan  bog'liqsiz 
tajribalar  (sinovlar)  ning  h a r , birida  ro'y  berishi  ham   bermasligi 
ham   m u m k in   bo'lsin.  H a r  bir  tajribada  A  hodisaning  ro 'y  berish 
ehtimoli  r  ga  teng  va  bu  ehtimollik  tajriba  nomeriga  bog'liq  bo'lm agan 
o'zgarm as  soni.  Tabiiyki,  har  bir  tajriba  u c h u n   A  hodisaning  ro'y 
bermaslik  ehtim oli  q = \ ~ p   ga  teng  bo'ladi.  Yuqoridagi  shartlarni 
qanoatlantiruvchi  tajribalar  ketma-ketligiga 
Bernulli sxemasi  deyiladi. 
Bemulli  sxemasi  ikkita  param etr:  n  tajribalar  soni  va  p  —  har  bir 
tajribada  A  hodisaning  ro'y  berish  ehtimoli  bilan  aniqlanadi.  B ernul­
li  sxemasida,  y a ’ni  n  ta  o 'z a ro   bog'liqsiz  tajribalar  ketm a-ketligida 
A  ho disaning  m  (m  m arta  ro'y   berish  ehtimoli  Pn(m)  quyidagi 
Bernulli  formulasi  orqali  ifodalanadi:
n  / 
t 
/^111 
III 
II-III
P,(m) =
  C „  
p   -CJ
bunda  p =  1 —q.
n  ta  tajriba  o'tkazilganida  hodisaning  ro'y  berishlar  soni  m ]  va 
s o n la ri  orasida  bo'lish  ehtimoli  quyidagi  form ulalardan
topiladi:
nu
Pn (tii,; m: )
 = 
Pn (m,  < k <  пи )=
 
X 
P., (k)
к
  = 
m j
n  ta  tajriba  o'kazilganida  hodisaning  ko'pi  bilan  m  m arta  ro'y 
berish  ehtim oli  quyidagicha:
m 
n
P J 0 ; m ) = Y P „ ( k )   yoki  PJ0;m) =  l -
  I  
P j k ).
k=0 
k=ni + j
n  ta  tajriba  o'tkazilganida  hodisaning  kam ida  m  marta  r o ‘y  berish 
ehtimoli  quyidagicha:
n 
in-/
P„(m:n) -   Z  Pj k )  yoki  P„(m:nj =  l -   Z P j k ) .
k=m 
k=l)


n  ta  tajriba  o'tkazilganida  hodisaning  hech  bo'lm aganda  bir  marta 
ro'y  berish  ehtimoli  quyidagi  form uladan  topiladi:
Pn(l;n) =  l - q " -  
Ш 
EXCEL, dasturi ning  standart  funksiyalari [f].
Statistik  funksiyalar.  Bernulli  sxemasida  A  hodisaning  n  tajrib- 
aning  m  tasida  ro‘y  berish  ehtim oli  P„(m)  va  hodisaning  k o ‘pi 
bilan  m  m a r t a   r o ‘y  berish  e h t i m o l i   Рл( 0 ; т ) 1 а г т   m ax su s 
B IN O M R A SP(SO N _S;T A JR IB A L A R ;  S_E H T IM O L L IK ; 
INTEGRAL)  nom li  funksiya  hisoblaydi.  Bunda  SON  S  ro'y  be- 
rishlar  soni  (y a ’ni  m);  T A JR IB A L A R —  barcha  tajribalar  soni 
(ya’ni  n);  S E H T I M O L L I K   -   h a r   bir  tajriba  uchun  hodisaning 
ro‘y  berish  ehtimoli  (ya’ni  p);  I N T E G R A L   —  ushbu  param etrga 
ROST  ( IS T IN A -T R U E )  qiymat  berilsa  P /m )  ehtimollik  hisobla­
nadi;  parametrga  Y O L G 'O N   (LOJ-FALSE)  qiymat  berilsa  Pn(0,m) 
ehtimollik  hisoblanadi;
n  ta  tajriba  o ‘tkazilganida  hodisaning  hech  bo'lm aganda  bir  m arta 
ro‘y  berish  ehtimolini  hisoblash  u c h u n   maxsus  funksiyaga  m u ro - 
jaat  quyidagicha:
1  -   BINOMRASP(«;();p;ROST) 
n  ta  tajriba  o'tkazilganida  hodisaning  ro ‘y  berishlar  soni  m,  va  m2 
orasida  bo'lish  ehtimoli  Рп(т^т^ ni  hisoblash  uchun  maxsus 
funksiyaga  murojaat  quyidagicha:
B IN O M R A S P (n ;m ,;p ; R O S T ) - B I N O M R A S P ( n ; m |;p; RO ST)
E  s  1  a  t  m  a  :  maxsus  funksiyaga  murojaat  qilganda  quyidagi 
parametrlar  S O N _S ;T A JR IB A L A R ;  S  E H T I M O L L I K   —  m iq ­
doriy  qiym atlar  yoki  ular  joylashgan  yacheykalarning  adresi 
bo'lishi  kerak.
P  dan  kichik  bo'lmagan  ehtimollik  bilan  hodisa  hech  bo'lm aganda 
bir  marta  ro'y  berishi  uchun  o'tkazish  kerak  bo'lgan  tajribalar  soni  n:
I n ( l - P )
n  > ------------
ln(l -  p)
t e n g s i z l i k d a n  
a n i q l a n a d i  
( y a ’ n i 
P„( \ ; n)  -   1 - q "   >  P 
y o k i  
( \ - p ) n < \ - P   - 
t e n g s i z l i k n i  
l o g a r i f m l a -
sak:  nhi(I -  p )  <  ln( 1 -  P j  b o ' l a d i ) .   I lo v a n i n g   № 1 0   j a d v a l i d a  
у   = l n(x)   funksiyaning  qiymatlari  keltirilgan.
Bernulli  sxemasida  hodisaning  ro'y  berishlar  soni  m  ning  eng 
ehtiniolliroq  qiymati  ц  quyidagicha  hisoblanadi:


1.  Agar  (n + \)p  ko‘paytm aning  qiymati  kasr  bo'lsa,  m  kasrning 
butun  qismiga  teng:  /л  =  [(n + 1)p \.
2.  Agar  (n + \)p  ko‘paytm aning  qiymati  butun  bo'lsa,  ro‘y  be­
rishlar  soni  m  ning  eng  ehtim olliroq  qiymati  ikkita  bo'ladi:
^   =  (n + \ ) p - \  
ea  //,  = ( n +  \ ) p-
Puasson  formulasi
Bernulli  sxemasida  n  ning  qiymati  yetarlicha  katta,  r  ning  qiy­
mati  esa  kichkina  bo‘lgan  hollarda  (odatda  r< 0 ,l;  npq<   9)  hoc'isan- 
ing  t  marta  ro‘y  berish  ehtimoli  Rn(m)ni  hisoblashda  Bernulli  form u­
lasi  o ‘rniga  Puasson  formulasidan  foydalaniladi:
л 111
P J m ) ~ ----- — . 
). = np-
m!
Puasson  formulasiga  asosan  n  ta  tajriba  o'tkazilganida  hodisaning 
ro ‘y  berishlar  soni Шу  \ а т у ( т ,   
2
 )  orasida  bo'lish  ehtim oli  quy­
idagicha  hisoblanadi:
m , 
j *
P J m ,:m 2 )  ~ e~' 
X 
—  
к  = m,  k!
/ 1,1
P(m,A) = — - —   funksiyasining  qiymatlari  jadvallashtirilgan  va
ml
Ilovadagi  2-jadvalda  keltirilgan.
iffl 
EXCEL  dasturining  standart  funksiyalari [Fj.
Statistik  funksiyalar.  Bernulli  sxemasida  A  hodisaning  n  tajri- 
baning  m  tasida  ro ‘y  berish  ehtimoli  Pn(m)  va  hodisaning  k o ‘pi 
bilan  m  m arta  ro wy  berish  ehtimoli  Pn(Q;m)  larni  Puasson  for­
mulasi  b o ‘yicha  maxsus
P U A S S 0 N (X ;0 ‘RTACHASI;INTEGRAL) 
nomli  funksiya  hisoblaydi.  Bunda  X —  ro ‘y berishlar  soni  (ya’ni  m); 
0 ‘R T A C H A SI  —  h a r  bir  tajriba  uchun  hodisaning  r o ‘y  berish 
ehtimoli  p  va  um u m iy  tajribalar  soni  n  ning  k o ‘paytm asi  (ya’ni 
л  = п- рУ,   I N T E G R A L   -   p aram etr  RO ST  ( I S T I N A - T R U E )  
qiym at  qabul  qilsa  Pn(m )  e h tim o llik   h iso b la n a d i;  p a r a m e t r  
Y O L G ‘O N   (L O J-F A L S E )  qiymat  qabul  qilsa  Pn(0;  m)  e h tim c l- 
lik  hisoblanadi;
E  s  1  a  t  m  a  :  maxsus  funksiyaga  murojaat  qilganda  quyidagi 
p aram etrlar  X ; 0 ‘RTACHASI  —  miqdoriy  qiym atlar  yoki  ular 
joylashgan  yacheykalarning  adresi  b o ‘lishi  kerak.



Naraunaviy  masalalar  yechish
1-masala.  M a’lum  bir  korxona  mahsulotlarining  5%i  sifatsiz. 
Tasodifan  olingan  5  ta  mahsulot  ichida  ikkitasining  sifatsiz  bo ‘lish 
ehtimolini  toping.
Yechish:  Tasodifan  olingan  mahsulotning  sifatsiz  b o ‘lish  eh ti­
molligi  p  =   0,05.  U  holda  Bernulli  formulasiga  asosan
P,(2) = .,U0.05)2f0 ,9 5 /'2  = —
f 0.05 
0 . 9 5 /   =0.02-
2/3/
Javob:  0,02.
I
ffl  Maxsus  funksiyaga  murojat:
BINOMRASP(2;  5;  0.05;  YOLG‘ON).
2 -masala.  Ikkita  teng  kuchli  raqib  shaxmat  o'ynam oqda.  T o ‘rt