Baxshullayev Alisherning " Matematika "

partiyadan  kamida  ikkitasini  yutish  ehtimoli  kattami  yoki  besh 
partiyadan  kamida  uchtasini  yutish  ehtimolimi?
Yechish:  Raqiblar  teng  kuchli  bo‘lgani  uchun  yutish  ehtim oli 
/7=0,5.  T o'rt  partiyadan  kamida  ikkitasini  yutish  ehtimolligi  quyidag­
icha  topiladi:
1
IV  
U_ 
16-
P4( 2) +  P4( 3)+  PA(4 )  =  \ - P 4( 0 ) -   PA( l )   =  \ - C " ^ j   - C ! ( j J   =
iffl  Maxsus  funksiyaga  murojaat: 
1-BINOM RASP(1;4;0.5;ROST)
Besh  partiyadan  kamida  uchtasini  yutish  ehtimoli
P5( 3 )   +  P ,( 4 )   +  P, ( 5)   =  C?
1
+ ci
v —
 у
\_
\
 2 у
+  C?
2 /
16
Iffl  Maxsus  funksiyaga  murojaat: 
1-BINC>MRASP(2;5;0.5;ROST)
11 /16 > 8 /16,  ya’ni  to ‘rt  partiyadan  kamida  ikkitasini  yutish  eh ti­
moli  kattaroq  ekan.
3-m asala.  M ahsulot  katta  partiyasining  l% i  sifatsiz.  H ech 
b o ‘lm aganda  bitta  sifatsiz  m ahsulot  uchratish  ehtim oli  0,95  dan 
kichik  boMmasligi  uchun  tasodifiy  tanlanm a  hajmi  q an cha  b o ‘lishi 
kerak?
■ I n ( l - P )
Yechish:  M a’lumki, 
.  Shartga  ko'ra  P= 0,95,  />=0,01.
ln( 1 -  p )


Demak,  n > -------- = 296.  Ya’ni,  tanlanm a  hajmi  kamida  296  bo'lgan
ln0.99
taqdirda  tekshiruv  davomida  kam ida  bitta  sifatsiz  mahsulot  uchrashi 
ehtimoli  0,95dan  kam  b o ‘lmaydi.
Javob:  n= 296.
4-masala.  Ulguiji  o.iibor  (baza)  10  ta  d o ‘konni  tc'm inlaydi. 
d o ‘konlarning  har  biridan  kelgusi  kunga  (qolganlariga  bog'liq 
b o ‘lmagan  holda)  buyi'rtm a  tushish  ehtimoli  0,4  ga  terg.  Ehtimoli 
eng  katta  bo'lgan  bir  kunlik  buyurtm alar  sonini  va  <:iu   sondagi 
buyurtm alarni  olish  ehtim olini  toping.
Yechish:  Shartga  ko‘ra  /7=10,  p=0,4.  (n  +  \) />=4,4.  Ehtimoli  eng 
katta  bo'lgan  buyurtm alar  soni  4,4  ning  butun  qismiga  teng:
»=[(n+l)p]  =4.
U  holda  Bernulli  formulasiga  asosan  to 'rtta   buyurtm a  olish  ehti­
moli  Plft(4)  =  C/n  • 0,44  •  0.66  =  0,251  bo'ladi.
Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0<p<1) ga teng bo‘lgan n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning kamida k₁ marta va ko‘pi bilan k₂  marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban ga teng.  Bu yerda  , . - funksiya Laplas funksiyasi deyiladi.

x ning musbat qiymatlari uchun Laplas funksiyasining qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan. x>5 bo‘lsa, Ф(x)=0,5 deb olinadi. Ф(x) funksiya toq funksiyadir. Shuning uchun manfiy qiymatlarda buni hisobga olish kerak bo‘ladi.

2-misol. Fermer xo‘jaliklariga o‘rnatilgan elektr hisoblagichlarning buzilmasdan ishlash ehtimoli o‘zgarmas bo‘lib, p=0,8 ga teng. O‘rnatilgan 100 dona hisoblagichdan kamida 75 tasi va ko‘pi bilan 90 tasining buzilmasdan ishlash ehtimolini toping.

Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=100; k₁=75; k₂=90; p=0,8; q=0,2 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz. larni hisoblaymiz: Laplas funksiyasining toq ekanligidan quyidagini hosil qilamiz:

P₁₀₀(75;90)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25). Jadvaldan Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944 ni topamiz. Laplasning integral teoremasiga ko‘ra biz qidirayotgan ehtimollik P₁₀₀(75;90)= 0,4938+0,3944=0,8882 ga teng bo‘ladi.

Eslatma. n≤20 da Bernulli formulasi, n>20, p0,02 da Puasson formulasi, n>20, 0,02< p<0,98 da Muavr - Laplas formulalari qo‘llaniladi.

Hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni.

Aniqlangan p ehtimolda P_n(k) ehtimol k ning funksiyasi ekani ravshan. Agar ihtiyoriy uchun  ,  bo‘lsa, u holda son hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni deyiladi.

Eng katta ehtimolli son quyidagi qo‘sh tengsizlikdan aniqlanadi.

bu yerda:

a) agar np-q son kasr bo‘lsa, u holda bitta eng katta ehtimolli son mavjud;

b) agar np-q son butun bo‘lsa, ikkita eng katta ehtimolli sonlar  va mavjud; c) agar np butun son bo‘lsa,  bo‘ladi.