Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

4. Riman teoremasi haqida.

Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o`rnini almashtirish haqidagi yuqoridagi natijani B.Riman umumiy holda ham isbot qilgan .Chunonchi agar (10) qator shartli yaqinlashsa ,uning hadlari o`rnini o`zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin .

Bu teoremani isbot qilishdan oldin , biz shartli yaqinlashuvchi qatorda musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham cheksiz ko`p ekanini ko`rsatamiz. Aslida biz bundanda kuchliroq natijani ,ya`ni bunday qatorlarda musbat hadlarining yig`indisi ham , manfiy hadlarining yig`indisi ham chegaralanmagan ekanini isbotlaymiz .

Shu maqsadda (10) qatorning n-nomerli qismiy yig`indisi tarkibiga kiruvchi musbat hadlari yig`indisini simvol orqali va o`sha qismiy yig`indi tarkibiga kiruvchi manfiy hadlarining absolyut qiymatlari yig`indisini simvol orqali belgilaymiz .

1 –tasdiq. Agar (10) qator yaqinlashsa , u holda

(22)

tenglik bajariladi.

Isbot. Ravshanki , va kattaliklar ta`rifga ko`ra , (10) qatorning n- nomerli qismiy yig`indisi

(23)

ga teng bo`lib ,hadlarni absolyut qiymatlaridan hosil bo`lgan qatorning n- qismiy yig`indisi esa

(24)

ga teng.

Endi qayd etamizki, (10) qatorning biror S soniga yaqinlashishi

(25)

tenglik bajarilishini anglatsa, ko`rsatilgan qatorning shartli yaqinlashishi esa qatorning absolyut yaqinlashmas ekanini, ya`ni

(26)

munosabat bajarilishini anglatadi .

Agar (25) va (26) tengliklarni (23) va (24) tengliklar bilan taqqoslasak,

,

tengliklarga ega bo`lamiz.

Ravshanki, bu munosabatlardan talab qilingan (22) tenglik kelib chiqadi .