Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

9.3.3-Teorema. Agar (15) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u hoda bu qator hadlarining o`rinlarining ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan (16) qator absolyut yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ham S ga teng bo`ladi .

Aytaylik, (15) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga

teng bo`lsin.

(16) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorning qismiy yig`indisini bilan bilan belgilaylik:

, .

Agar deyilsa , unda va bo`lganda

bo`ladi.

1. 
   qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lgani sababli uning qismiy yig`indilari
   

ketma-ketligi yuqoridan chegaralangandir. Binobarin , yig`indi ham yuqoridan chegaralangan bo`ladi.Unda musbat hadli qatorning yaqinlashuvchanligi haqidagi teoremaga ko`ra qator va ayni paytda qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, qator absolyut yaqinlashuvchi. Uning yig`indisini

deymiz. Endi berilgan qator hadlarining o`rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan

qator yig`indisini S ga teng ekanligini isbotlaymiz . Buning uchun ga ko`ra shunday topilib, da

(17)

bo`lishini ko`rsatish yetarli bo`ladi.

Ixtiyoriy musbat sonni tayinlab olamiz . Modomiki, qator absolyut yaqinlashuvchi ekan , unda Koshi teoremasiga olingan songa shunday

nomer topiladiki,

, (m=1,2,3,…), (18)

shuningdek, qatorning yaqinlashish ta`rifiga ko`ra

(19)

bo`ladi.

Yuqoridagi natural son ni shunday katta qilib olamizki, qatorning

dan katta bo`lgan n nomerli ixtiyoriy qismiy yig`indisi

da

qatorning barcha dastlabki ta hadi qatnashsin.

Ravshanki,

Keyingi munosabatdan va (19) tengsizlikni e`tiborga olib topamiz :

(20)

Ma`lumki , bo`lganda qatorda qatorning barcha dastlabki

ta hadi qatnashadi. Binobarin ,

_ayirma qator har bir hadining nomeri dan katta bo`lgan ta

hadining yig`indisidan iborat .

Endi natural m sonni shunday katta qilib olamizki ,bunda son yuqorida aytilgan barcha ta hadlarning nomerlaridan katta bo`lsin.

U holda

(21)

bo`ladi.

(20), (21) va (18) munosabatlardan foydalanib , (17) tengsizlik, ya`ni

tengsizlikning bajarilishini topamiz.

Natija. Agar musbat hadli qator yaqinlashsa ,u hadlarining o`rnini istalgancha almashtirgandan keyin ham huddi o`sha yig`indiga yaqinlashadi .