Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

3.1. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar tushunchasi. Faraz qilaylik,

(1)

qator berilgan bo`lsin .Bu qatorning har bir hadi ixtiyoriy ishorali haqiqiy sonlardan iborat. Odatda, bunday qator ixtiyoriy hadli qator deyiladi.

(1) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan ushbu

(2)

qatorni tuzamiz.

1-teorema. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (1) qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi .

Isbot. Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda qator yaqinlashuvchanligi haqidagi Koshi teoremasiga ko`ra

da

bo`ladi. Ravshanki,

Keyingi ikki munosabatdan

da

bo`lishi kelib chiqadi.Koshi teoremasiga muvofiq (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

1-ta`rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi . Masalan, ushbu

qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi qator bo`ladi, chunki

umumlashgan garminik qator bo`lganda yaqinlashuvchi .

2-Ta`rif . Agar qator yaqinlashuvchi bo`lib, qator uzoqlashuvchi bo`lsa , qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi.

Misol . Ushbu

qator shartli yaqinlashuvchi qator bo`ladi.

Ravshanki ,berilgan qatorning qismiy yig`indisi

(3)

bo`ladi.Ma`lumki,ln(1+x)funksiyaning

bo`lib , bo`lganda

bo`lar edi.

Xususan, x=1 bo`lganda

bo`ladi.

(3) va (4) munosabatlardan

ln2=

va undan

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, da . Bu esa qaralayotgan qatorning yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi .

Ayni paytda,berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

Qator garmonik qator bo`lib ,uning uzoqlashuvchligi ma`lum. Demak, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi qator .

Endi

qatorning musbat hadli qator ekanini e`tiborga olib , qatorning absolyut yaqinlashuvchligini ifodalovchi alomatlarni keltiramiz.