Asosiy qism Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi

,,Riman teoremasi’’

Mavzu: Riman teoremasi

Reja:

1. 
   Kirish
   

2. 
   Asosiy qism
   

1. 
   Qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi.
   
2. 
   Qatorlarning yaqinlashish alomatlari.
   
3. 
   Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari.
   
4. 
   Riman teoremasi haqida.
   
5. 
   Riman teoremasi tatbiqiga doir misollar.
   

3. 
   Xulosa.
   

4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

Kirish

Biz maktab kursida arifmetik va geomaetrik progressiyalar yordamida chekli sondagi yig`indilarni hisoblashni o`rgangan edik. Lekin biz yuqori kurslarga kelib cheksiz sondagi yig`indilarni hisoblashga duch kelamiz. Buning natijasida cheksiz sondagi yig`indilarni hisoblash masalasi yuzaga keladi. Bu masalani hal qilish natijasida matematika kursida sonli qator tushunchasi paydo bo`lgan. Shunga ko`ra bu sonli qatorlar bizga ixtiyoriy sondagi yig`indilarni hisoblash imkonini berdi. Endi sonli qator tushunchasiga izoh berib o`tsak. Bizga biror sonli ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Uning elementlaridan formal

ravishda tuzilgan

ifodaga ko`rinishdagi ifodaga sonli qator (yoki oddiy qilib qator) deyiladi.Ketma-ketlikning elementlari qatorning hadlari deb ataladi. Ushbu qatorni belgidan foydalanib yana quyidagicha ham belgilashadi:

(1)

bunda yig`indining yuqori chegarasi qator hadlari sonining cheksiz ekanini anglatadi.

Sonli qator yig`indisi tushunchasini aniqlash bo`yicha uchta yondashishni

keltirish mumkin. Birinchisida cheksiz sondagi hadlarni, ular qanchalik kichik bo`lishidan qat`iy nazar , qo`shib chiqish jarayoni hech qachon tugamaydi deb hisoblab, bunday yig`indining biror ma`noga ega ekani umuman inkor etiladi. Bunday yondashish , Axilles va toshbaqa nomi bilan tanilgan, Zenon Eleyskiy (ermizdan avvalgi 490-430- yillarda yashagan) paradoksida o`z aksini yaqqol topgan.

Bu paradoksga ko`ra, Axilles toshbaqa yetib olish maqsadida, avval toshbaqa boshlang`ich vaqtda turgan nuqtaga kelishi kerak, ammo toshbaqa bu vaqt ichida boshqa biror nuqtada bo`ladi. Axilles nuqtaga yetib kelganda esa, toshbaqa navbatdagi nuqtaga keladi va hokazo. Madomiki Axilles bosib o`tishi kerak bo`lgan yo`l cheksiz sondagi oraliqlardan ( ularning uzunligi istalgancha kichik bo`lishiga qaramasdan ) iborat ekan, ularni qo`shib chiqish jarayoni ( Zenon fikricha ) cheksiz ko`p vaqt talab qiladi va shuning uchun arifmetikaning oddiy qoidalari yetarli, deb hisoblaydilar. Ayniqsa o`rta asrlarda bunday qarash keng tarqalgan edi. Masalan,belgilash kiritib, biz

deb yozishimiz mumkin, ya`ni

Bundan ekani kelib chiqadi. Qizig`i shundaki, bu yondashish tarafdorlarini butun sonlar yig`indisining to`g`ri kasr bo`lib qolgani ajablantirmagan.

Ammo bu yondashishning qoniqarli emasligi quyidagi

qator misolida yaqqol ko`zga tashlanadi. Chunki

deb yozib olsak,

bo`ladi va bundan esa shubhasiz noto`g`ri bo`lgan 0=1 natijani olamiz.

Nihoyat, uchinchi yondashish shundan iboratki, unda barcha sonli qatorlar ichidan faqat biror qoniqarli ma`noda yig`indi tushunchasini kiritish mumkinlarigina ajratib olinib, qolganlarini esa o`rganilmaydi. Limitlar nazariyasiga tayangan bu yondashish XIX asr matematiklari tomonidan rivojlantirildi va u juda sernahsul bo`lib chiqdi. O`sha vaqtda kiritilgan sonli qator yig`indisi tushunchasi, yig`indiga ega bo`lgan qatorlar sinfini kengaytirish natijasida, doimo rivojlantirildi va hozir ham rivojlanib kelmoqda.

Navbatdagi maqsadimiz (1) cheksiz yig`indiga, xuddi chekli sondagi hadlar

yig`indisi xossalariga ega bo`ladigan qilib, ma`no berishdan iboratdir. Buning uchun, dastlabki n ta handing yig`idisini hisoblab, n cheksiz kattalashganda bu yig`indining o`zgarishini kuzatamiz.

Agar qator absolyut yaqinlashsa, u hadlari o`rnini ixtiyoriy o`zgartirganda ham yaqinlashadi va bunda uning yig`idisi o`zgarmaydi. Boshqacha qilib aytganda, absolyut yaqinlashuvchi qator o`rin almashtirish xossasiga egadir. Lekin, shartli yaqinlashuvchi qator yig`indisi uning hadlarini qaysi tartibda qo`shilayotganiga qattiq bog`liqdir.

Agar qator shartli yaqinlashsa, uning hadlarini o`rnini o`zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin.

Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o`rnini almashtirish haqidagi bu fikrlarni B.Riman umumiy holda isbot qilgan.

1.