Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Soliyeva Robiyaxon Abduxalil qizining

II.BOB. BIRINCHI TARTIBLI GIPERBOLIK TENGLAMALAR SISTEMASINI TAQRIBIY YECHISHDA XARAKTERISTIKALAR METODI

2.1. Kvazigiperbolik differenstial tenglamalar sistemasi xarakteristikalarining tenglamalari.

Ma'lumki, har qanday xususiy hosilali differensial tenglamalarni almashtirishlar bajarish natijasida unga teng kuchli bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin. Ko’p jihatdan bunday sistemalar nazariy o’rganishda ham, taqribiy yechishda ham ma'lum afzalliklarga egadir.
Yozuv murakkab bo’lmasligi va asosiy g’oya tushunarli bo’lishi uchun ikkita birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(2.1)
funksiyalar , , , o’zgaruvchilarning biror o’zgarish sohasida uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bunday sistemalar kvazichiziqli deyiladi. Agar , koeffisiyentlar faqat va ga bog’lik, bo’lsa, u xolda (2.1) sistema yarim chiziqli deyiladi. Agar, bundan tashqari, va lar va ga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, u holda (2.1) sistema chiziqli sistema deyiladi.
Kvazichiziqli sistemalar ko’pincha gazodinamika masalalarida uchraydi.
Faraz qilaylik, soha tekislikda yotsin va , funksiyalar (1) sistemaning sohada uzluksiz differensiallanuvchi yechimi bo’lib, esa sohada joylashgan karrali nuqtalarga ega bo’lmagan silliq, egri chiziq, bo’lsin. Biz bu yerda va yechimning ustidagi qiymatiga ko’ra (2.1) sistemadan foydalanib, ustida , , , xususiy hosilalarning qiymatini aniqlash masalasini qaraymiz.
Avvalo, (2.1) sistemadan ko’ramizki, egri chiziq, ustida , , , xususiy hosilalarning qiymatlari
(2.2)
munosabatlarni va egri chiziq ustida
, (2.3)
differensial munosabatlarni qanoatlantiradi. Shunday qilib, , , , larni aniqlash uchun to’rtta birinchi tartibli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.
Endi ustida deb faraz qilib, (2.3) ni
, (2.4)
ko’rinishda yozib olamiz va (3), (4) munosabatlardan va ni yo’qotamiz, natijada va ga nisbatan quyidagi sistemani xosil qilamiz:
(2.5)
Agar bu sistemadan va ni topish mumkin bo’lsa, u holda (2.4) dan va ni topamiz. Biz ustida deb faraz qilgan edik, aks holda bo’lib, (2.4) ning o’rniga
, (2.6)
munosabatlarga ega bo’lamiz va (2.5) ning o’rniga
(2.7)
sistemaga ega bo’lamiz. (2.5) va (2.7) sistemalarning aniqlovchilari faqat ishorasi bilan farq qilishi mumkin. (2.5) sistemaning determinantini orqali belgilaymiz:
(2.8)
Bu yerda ikki holni ko'ramiz:

1. 
   determinant egri chiziqring birorta nuqtasida ham nolga aylanmaydi;
   
2. 
   determinant egri chiziq, ustida aynan nolga teng.
   

Birinchi xolda (5) sistema , ga nisbatan yagona yechimga ega, demak, egri chiziqning har bir nuqtasida va larning dagi qiymatlari hamda (2.1) sistema bo’yicha bu funksiyalarning xususiy hosilalarini topish mumkin. Ikkinchi holda (2.1) sistemaning yechimi mavjud deb faraz qilganligimiz uchun (2.5) sistema o’rindosh bo'lishi kerak. Ammo bo’lganligi uchun (2.5) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Shunday qilib, ikkinchi holda , larning ustidagi qiymatlari bo’yicha yechimlarning xususiy hosilalarini ustida bir qiymatli ravishda aniqlab bo’lmaydi. egri chiziq, bilan yechimning bu egri chiziq, bo’ylab olingan qiymati birgalikda (2.1) sistemaning fazodagi xarakteristik egri chizig’i deyiladi. Bu egri chiziq, bo’ylab (2.1) sistemaning yechimi tarmoqlanishi mumkin. xarakteristika xarakteristik egri chiziqning tekisligidagi proyeksiyasi bo’ladi.
xarakterisikaga o’tkazilgan urinmaning o’qi bilan tashkil etgan burchagining tangensi quyidagi tenglamani qanoatlantiradi:
(2.9)
Belgilangan nuqtada bu ga nisbatan kvadrat tenglama bo’ladi. Agar bu tenglamaning ildizlari xaqiqiy va har xil bo’lsa, u holda (2.1) sistema nuqtada giperbolik sistema deyiladi. Agar bu xususiyat fazoning biror sohasining har bir nuqtasida o’rinli bo’lsa, u holda (2.1) sistema bu sohada giperbolik sistemani tashkil etadi deyiladi. Biz faqat giperbolik sistemalarni qaraymiz.
Ravshanki, (2.1) giperbolik sistemaning berilgan , yechimi aniqlangan sohaning har bir nuqtasida (2.9) tenglama ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo’lib, ular berilgan yechimga mos keladigan xarakteristikalarga o’tkazilgan urinmalarning ikkita yo’nalishini aniqlaydi. Berilgan yechimga mos keladigan (9) tenglamaning ildizlarini va orqali belgilaymiz (ular va ning funksiyalari bo’ladi), natijada quyidagi ikkita tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
,
Bu tenglamalarning har biri sohani to’shovchi bir parametrli egri chiziqlar oilasini - bu tenglamaning integral chiziqlarini tashkil etadi. sohaning har bir nuqtasidan oilaning bittagina egri chizig’i o’tadi. (2.9) tenglamani birinchi tartibli ikkinchi darajali differenstial tenglama sifatida qarasak, u holda (2.1) sistemaning berilgan yechimi , uchun ikkita bir parametrli egri chiziqlar oilasi yoki xarakteristikalar oilasiga ega bo’lamiz. sohaning har bir nuqtasidan har bir oilaning bittagina xarakteristikasi o’tadi. Agar (2.1) sistema qat'iy kvazichiziqli bo’lsa, u holda uning xarakteristikasi sistema yechimining tanlanishiga qat'iy bog’lik, bo’lib, faqat yechim ma'lum bo’lgandagina uni aniqlash mumkin. Chiziqli sistema uchun , koeffistiyentlar , larga bog’liq bo’lmaydi va shuning uchun ham (9) tenglamadan xarakteristikalari , larga bog’liq, bo’lmagan holda aniqlash mumkin.
Faraz qilaylik, egri chiziq, tekisligida (2.1) sistemaning , berilgan yechimiga mos keladigan xarakteristika bo’lsin. egri chiziqda determinant nolga teng. Ammo (2.5) sistema o’rindosh bo’lganligi uchun determinantda mos ravishda 1- va 2- ustunlarini ozod xadlar bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladigan va determinantlar ham nolga aylanishi kerak. Shunday qilib, egri chiziqda , quyidagi uchta munosabat bilan bog’langan:
, ,
Ammo bu shartlar o’zaro erkli emas. (1) sistema giperbolik bo’lganligi uchun va, demak, bu determinantning ustunlari orasida chiziqli bog’lanish mavjud. Shuning uchun ham , va , shartlarning biridan ikkinchisi kelib chiqadi. Biz bu shartlardan asosiysi sifatida
, (2.10)
ni olamiz. Shunday qilib, xarakteristikada , yechim xarakteristika tenglamalari deb ataluvchi ikkita (2.10) shartlar bilan bog’langan. Bulardan birinchisi xarakteristika yo’nalishining tenglamasi, ikkinchisi esa xarakteristika ustida differensial munosabat deyiladi.
Shuni ta'kidlashimiz kerakki, agar biz xarakteristikani emas, xarakteristik egri chiziqni qarasak, u holda u (2.1) sistemaning bir necha yechimiga tegishli bo’lishi mumkin. Agar yechimning uzluksiz differenstiallanuvchi bo’lishidan voz kechsak, u holda yechim uzluksiz bo’la turib, birinchi hosilalar faqat xarakteristika bo’ylab uzilishga ega bo’lishi mumkin. Bunday yechimlarni quyidagicha topish mumkin:
Faraz qilaylik, , va , lar (2.1) sistemaning ikkita yechimi bo’lib, ular sohada uzluksiz hosilaga ega bo’lishsin, esa har ikkala yechimga tegishli bo’lgan xarakteristik egri chiziqning tekisligidagi proyeksiyasi bo’lsin. Quyidagi yechimni qaraymiz:
;

Bu yechim sohada uzluksiz, ammo da hosilalari uzilishga ega. Yuqoridagilardan quyidagi xulosaga kelamiz: xarakteristikalar yo’nalishlarining tenglamalari kuyidagilardan iborat:
, (2.11)
bunda va
(2.12)
tenglamaning ildizlari. Xarakteristikalar ustidagi differensial munosabatlar
(2.13)
yoki
(2.14)
dan iboratdir, budan iboratdir, bu yerda
, , , , (2.15)
Shuni ta'kidlash kerakki, agar (2.1) sistema chiziqli yoki yarim chiziqli bo’lsa, ya'ni , koeffisiyentlar , ga bog’lik, bo’lmasa, u holda va lar ham , ga bog’lik, bo’lmay, (2.11) sistema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
,

2.1-rasm.
Bunday xarakteristikalarni tekisligida , yechimga bog’lik, bo’lmagan holda topish mumkin. Kvazichiziqli bo’lgan holda xarakteristikalar , yechimga bog’lik, bo’lib, xarakteristikalar turini qurish bilan bu to’r tugunlarida va yechimlarning qiymatini topish bir vaqtda olib borilishi kerak.

2.2. Xarakteristika tenglamalarini sonli yechish.

tekisligida koordinatalari va bo’lgan 1 va 2 nuqtalarni olamiz (3-rasm). Faraz qilaylik, bu nuqtalarda (2.1) sistemaning izlanayotgan , yechimlarining qiymatlari ma'lum bo’lsin. Ularning 1 va 2 nuqtalardagi qiymatlarini , , va , orqali belgilaymiz. Keyin xarakteristikalarning birinchi oilasiga mansub bo’lib, xarakteristika yo’nalishi bo’yicha yo’nalgan va 1 nuqtadan chiqadigan to’gri chiziqni, shuningdek, 2 nuqtadan chiqadigan xarakteristikalarning ikkinchi oilasiga tegishli bo’lgan xarakteristika bo’yicha yo’nalgan to’gri chiziqni o’tkazamiz. Bu to’gri chiziqlar qandaydir 3-nuqtada kesishadi. Keyin (2.11) va (2.14) tenglamalarni 1 va 3 nuatalarni hamda 2 va 3 nuqtalarni birlashtiruvchi chiziqlar bo’yicha integrallaymiz, natijada , noma'lum koordinatalarni hamda nuqtadagi , yechimning qiymatlari , ni topish uchun quyidagi tenglamalarga ega bo’lamiz:
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Bu integrallarni biror takribiy metod bilan hisoblab, , , , taqribiy yechimlarni topib olamiz. Bu yerda ikki metod - Eyler metodining analogi va trapetsiyalar metodining analogini qo’llash mumkin. Biz shulardan bittasini keltiramiz. Bu metod adabiyotlarda Masso metodi ham deyiladi.

2.3. Eyler metodining analogi.

Qulay bo’lishi uchun , , belgilashlarni kiritamiz va , , , , ifodalarning nuqtalardagi qiymatlarini mos ravishda , , , , orqali belgilaymiz. Yuqoridagi (2.16)-(2.19) integrallarni hisoblash uchun chap to’gri burchakli to’rtburchaklar formulasini qo’llaymiz, natijada , , , larni topish uchun quyidagi taqribiy chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
,
,
,

Bu tengliklarning har birining xatoligi bo’lib bunda . Bu sistemadan topilgan , , , takribiy qiymatlarning aniqligi yetarli bo’lmasligi mumkin. Chunki 1 va 2 nuqtalardan chiqqan xarakteristikalarni to’gri chiziqlarning kesmasi bilan almashtirdik, aslida esa ular egri chiziqli xarakteristikalarning kesishish nuqtasi bo’lishi mumkin. Bundan tashqari, egri chiziqli integrallarni to’gri chiziq bo’yicha olingan integral bilan almashtirdik, ma'lumki, bu qo’shimcha xatolikka olib keladi. Shu munosabat bilan , , , larning aniqroq qiymatini topish masalasi tug’iladi. Aniqlashtirishning bir necha usullari bor. Bularning biri quyidagichadir:
Oldin topilgan birinchi yaqinlashish , dan foydalanib, keyingi yaqinlashish sifatida quyidagi o’rta arifmetik sonlar olinadi:
, .
Xuddi shunga o’xshash uchun quyidagi miqdorlar aniqlanadi:
(2.20)
Bu yerda , , , , sonlar , , , , determinantlarning birinchi yaqinlashishda topilgan , , , nuqtadagi qiymati; 3-nuqtada izlanayotgan ikkinchi yakinlashish , , , lar ketma-ket quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi:



Bu sistemalarning birinchisidan avval koordinatalarning aniqlangan , qiymatlarini, keyingi sistemadan esa izlanayotgan funkstiyalarning aniqlangan , qiymatlarini topamiz. Agar aniqlik yetarli bo’lmasa, bu iterastion jarayonni davom ettiramiz. Qachonki topilgan ikkita ketma-ket yakinlashishning qiymatlari kerakli aniqlikda ustma-ust tushsa, jarayonni to’xtatamiz. Agar yetarlicha kichik bo’lsa, odatda, ikkita aniqlash yetarli bo’ladi, chunki keyingi yaqinlashishlarda aniqlik oshmaydi. Shunday qilib, ma'lum va nuqtalar bo’yicha uchinchi nuqtani topish masalasini yechdik. Biz bu metodni (1) sistema uchun qo’yiladigan har xil masalalarga qo’llashimiz mumkin. Shularning ayrimlarini ko’rib chiqamiz.

2.4. Koshi masalasi.

Faraz qilaylik, (1) sistema, 10.7.1 da aniqlangan yetarlicha silliq va birorta nuqtasida ham xarakteristik yo’nalishga ega bo’lmagan egri chizik berilgan bo’lsin (2.2-rasm). Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi:
, funksiyalarning ning biror yoyida berilgan qiymatlari bo’yicha (2.1) sistemaning yechimi topilsin. Buning uchun yoyda bir-biriga yaqin nuqtalar olamiz. 2.2-rasmda 1, 2, ..., 6 nuktalar olingan. Avval 1 va 2 nuqtalar bo’yicha yuqoridagi

2.2-rasm
metodga ko’ra 7- nuqtani topamiz (ya'ni uning koordinatalarini va , ning bu nuqtadagi qiymatini). Bu ishni qilish mumkin, chunki 1 va 2 nuqtalar uchun kerakli miqdorlar dastlabki shartlardan ma'lum. Keyin 2 va 3 nuqtalar bo’yicha 8-nuqtani va hokazo. 5 va 6 nuqtalar bo’yicha 11 - nuqtani topamiz. Endi 7, 8, 9, 10, 11 nuqtalarni dastlabki nuqtalar deb qabul qilib, bu jarayonni davom ettiramiz. Bu jarayon «uchburchak» to’ldirilguncha davom ettiriladi (5-rasm). Bunda qandaydir siniq chiziq bo’lib, nuqtadan chiqadigan birinchi oilaga mansub bo’lgan xarakteristikaga yaqinlashishdir, esa nuqtadan chiqadigan ikkinchi xarakteristikaga yakinlashish bo’ladi.

2.3-rasm.
Bunday qurishni egri chiziqning boshqa tomonidan ham bajarish mumkin. Shunda biz «uchburchak»ka ega bo’lamiz, bunda tomon nuqtadan chiqadigan ikkinchi oilaga mansub xarakteristikaning yaqinlashishi bo’lib, tomon nuqtadan chiqadigan birinchi oilaga mansub xarakateristikaning yaqinlashishidir. Aniq yechim uchun bu soha va chetki nuqtalardan chiqib yechimga mos keluvchi to’rtta xarakteristikadan tashkil topadi.

2.5. Gursa masalasi.

Gursa masalasida (1) sistemaning shunday , yechimini topish kerakki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: nuqtadan chiqqadigan ikkita va xarakteristikada , funksiyalarning qiymatlari berilgan bo’lib, bu qiymatlar umumiy nuqtada ustma-ust tushsin. Ravshanki, berilgan , funkstiyalar har bir xarakteristikada xarakteristika differensial tenglamalarini qanoatlantiradi.
Bu masalani sonli yechish uchun bir-biriga yaqin bo’lgan nuqtalarni, masalan, 6-rasmdagi 1, 2, 3, ...., 7 nuqtalarni olamiz. Yuqoridagi metodga ko’ra 1 va 4 nuqtalardan foydalanib 8-nuqtani, 8 va 5 nuqtalar bo’yicha 9-nuqtani, 9 va 6 nuqtalar bo’yicha 10- nuqtani, 10 va 7 nuqtalar bo’yicha 11-nuqtani topamiz. Keyin 1,8, 9, 10, 11 larni yangi nuqtalar qatori deb qabul qilib, bunday jarayonni davom ettiramiz. Bu jarayon davomida elementar to’rtburchaklar egri chiziqli to’rtburchakni approksimatsiya keladigan siniq, «to’rtburchak»ni quramiz. Bu to’rtburchakning ikki tomoni va xarakteristikalarning berilgan yoyidan iborat bo’lib, boshqa ikkitasi va nuqtalardan chiqqadigan xarakteristikalarning yoylaridan iborat. Ravshanki, va chiziqlar xarakteristikalarning bir oilasiga tegishli bo’lib, va lar boshqa oilasiga tegishlidir. Demak, biz shunday soha qurdikki, unda berilgan qiymatlarga ko’ra yechimni qurish mumkin.