Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Soliyeva Robiyaxon Abduxalil qizining

1.5. Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali sxemani qurishning o’ziga xos xususiyatlari.

Silindrik koordinatalar sistemasida quyidagicha yozilgan giperbolik tenglamani qaraylik:
. (1.19)
Bu tenglamaga mos ayirmali sxemani qurish uchun quyidagi shablondan foydalanamiz:
Bu yerda ham, xuddi yuqoridagidek, vaqt va fazo bo’yicha hosilalarni quyidagicha ayirmali sxemalarga approksimatsiyalaymiz:
,
Bunda .

U holda (1.19) ayirmali sxema quyidagicha yoziladi:
, (1.20)
Bu yerda ham chegaraviy shartlar xuddi yuqoridagi hollardek, ammo chap chegarada simmetriya sharti oʻrinli ekanligini yoddan chiqarmaslik kerak, ya’ni bunda simmetriya sharti beriladi. Bu yerda yuqoridagi ayirmali tenglamadan hol uchun foydalanib boʻlmaydi, chunki nuqta maxsuslikka ega. Shuning uchun (1.19) tenglamani kabi yozib olib, bu maxsuslikdan qutilish mumkin. Bunda da Lopital qoidasidan foydalanib aniqmaslikni nuqta uchun ochamiz va quyidagi tenglamaga kelamiz:
(1.21)
Endi (1.20) tenglama va chegaraviy shartning nuqta uchun ayirmali sxemalarini yozib, izlanayotgan fuksiyaning shu nuqtadagi qiymatini topishning quyidagi ayirmali ifodasini hosil qilamiz:
, ;
, .
Bu holda ayirmali sxemaning ustivorlik sharti quyidagicha .

1.6. Giperbolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar.

Ustivorlik. Ayirmali sxemani qo’llash bilan natijasi katostrofik bo’lgan cheklanmagan yechimga kelib qolishimiz mumkin, u holda biz bunday ayirmali sxemani sonli ustivor emas deb aytamiz. Agar vaqt qadamining oshishi bilan ixtiyoriy xato oshib borsa, bu o’z navbatida yechimni to’la yaroqsiz natijaga olib keladi.
Ustivorlik shartini quyidagicha bayon qilish mumkin: sonli usul ustivor bo’ladi, agar hisoblash jarayonining ixtiyoriy bosqichida kichik xato o’zidan kichik chekli xatoga olib kelsa.
Amaliyotda boshlang’ich shartlar bilan berilgan masalani yechish uchun qo’llanilayotgan ixtiyoriy sonli usul shubhasiz, hech bo’lmaganda ma’lum sharoitda, ustibor bo’lishi kerak.
Ustivorlik talabini quyudagicha bosqichlar bilan bayon qilish mumkin:

• 
  – bu –qadamda paydo bo’ladigan xatolar vektori;
  
• 
  – xatoliklarning o’zgarishi, bunda – o’tish matritsasi;
  
• 
  Chiziqli tenglamalar uchun – o’tish matritsasi – o’tish operatoriga ekvivalent;
  
• 
  Umumiy holda ; ;
  
• 
  Usul ustivor bo’ladi, agar ning qiymati dan va xuddi shunday dan ham bog’liq bo’lmagan o’zgarmasga ko’paytirilgan bilan chegaralangan bo’lsa, ya’ni .
  
• 
  Agar vaqt otishi bilan aniq yechim o’smasa, u holda sonli yechimda ham o’sish sodir bo’lmasligi, ya’ni bo’lishi kerak.
  
• 
  Agar o’tish tenglamasi ushbu diagonal ko’rinishga keltirilgan bo’lsa, u holda ustivorlik uchun xatolarning xar bir xos vektori normasi o’smasligi lozim, bundan esa quyidagiga ega bo’lamiz:
  

(barcha lar uchun).
bunda – bu o’tish ko’paytuvchisi ga kompleks–qo’shma miqdor.
Ustivorlikning fon Neyman bo’yicha tahlili:
Faraz qilaylik, o’tish operatori o’zgarmas miqdorga teng. U holda bog’liq o’zgaruvchilarning furye–modasi ustivorligini qarash mumkin va uning amplitudasi cheklanganligini talab qilish mumkin. Ustivorlik uchun – o’tish ko’paytuvchisi modul jihatidan birdan oshmasligi kerak, ya’ni barcha furye–modular uchun .
1–misol. tenglamaning oqimga qarshi ayirmasi quyidagicha:
; ; ;


Ustivorlik sharti – bu Kurant–Fridriks–Leva sharti: .
2–misol. tenglamaning oqim bo’ylab ayirmasi quyidagicha:
;
.
Demak bu sxema doimo noustivor.
3–misol. tenglamaning markaziy ayirmasi quyidagicha:
;

Demak bu sxema doimo noustivor. Bunga sabab qaralayotgan sxemaning mos emasligi. Agar uning o’rniga Laks sxemani qarasak, u holda quyidagi ustivor sxemaga ega bo’lamiz:
;
Sxemaga furye–modani qo’ysak,

Ustivorlik sharti (Kurant–Fridriks–Leva sharti):
yoki .
Yaqinlashuvchanlik. Taqribiy yechim aniq yechimga yaqinlashadi, agar va bo’lganda bo’lsa.
Ekvivalentlik haqidagi Laks teoremasi. Uni quyidagicha sxemalashtirish
mumkin:
Approksimatsiya + Ustivorlik = Yaqinlashuvchanlik
Boshqacha aytganda:

Izlanayotgan yechimga va bo’lganda erishiladi.
Laks teoremasi faqat chiziqli ayirmali sxemalar uchun o’rinli.
Giperbolik tipdagi ushbu tenglama uchun (bunda , masalan , ; – o’tish ko’paytuvchishi):

• 
  Birinchi tartibli aniqlikka ega oshkor usul:
  

; .
Bu ayirmali sxema doimo noustivor.

• 
  Laks usuli:
  

; .
Bu ayirmali sxema da ustivor.

• 
  Lelevye usuli:
  

, agar ; , agar ; Bu ayirmali sxema da ustivor va uni faqat ko’chirish tenglamasi uchun qo’llash mumkin.

• 
  Laks–Vendroffning ikki qadamli usuli:
  

; ; . Bu ayirmali sxema da ustivor.

• 
  Laks–Vendroffning bir qadamli usuli:
  

,
bu yerda – yakobian; va ; . Bu ayirmali sxema da ustivor.

• 
  «Sakrab qadamlash» usuli:
  

; .
Bu ayirmali sxema da ustivor.

• 
  Kvaziikkinchi tartibli aniqlikka ega usul:
  

.
Bu ayirmali sxema da ustivor, agar , ya’ni aynan , agar .

1.7. Giperbolik tenglamalarni ayirmali metodlar bilan yechish

Bu bandda soddalik maqsadida bir jinsli giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini va birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz.