Algebra va matematik analiz

y=tgx funksiyaning xossalari:
1) Bu funksiyaning aniqlanish sohasi sonlardan boshqa barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat.
2) funksiyaning qiymatlar to’plami barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat bo’ladi: funksiyasi chegaralanmagandir;
3) toq funksiya: barcha x u chun tenglik bajariladi;
4) davriy funksiya. Uning eng kichiq musbat davri ga teng, barcha uchun bo’ladi;
5) Barcha , uchun bo’ladi;
6) Barcha uchun bo’ladi;
7) Barcha uchun bo’ladi;
8) funksiyasi o’z aniqlanish sohasida uzluksiz va har bir x nuqtada hosilaga ega;
9) funksiya har bir oraliqda o’suvchi bo’ladi;
10) funksiyasi grafigi egilish nuqtalarga ega. Uning grafigi oraliqlarda qavariq, oraliqlarda esa botiq bo’ladi.


4. y = Ctgx funksiyaning xossalari va grafigi.
y=Ctgx funksiya-davriy bo’lib, uning eng kichik musbat davri  ga teng. Bu funksiyaning xossalarini o’rganish uchun 0;  oraliqni olamiz. Bu oraliqning oxirlarida ctgx funksiya aniqlanmagan.
1) Funksiyaning birinchi hosilasini topamiz:
2) x ning barcha x=n dan boshqa qiymatlarida bo’ladi. Demak, 0; oraliqda funksiya kamayadi, Ctg/2=0 ;
3) oraliqning oxirgi nuqtalaridan o’tgan vertikal to’g’ri chiziqlar funktsiya grafigi uchun asimptotalar bo’ladi, chunki
nuqtalari koordinatalari;
Garmonik tebranishlar va ularni qo’shish.
Tabiatshunoslik va texnikada
(1)
yoki
(2)
qonunga asosan o’zgaruvchi miqdorlar keng qo’llaniladi. (1) yoki (2) ko’rinishdagi funksiyalarni biz xususiy holda murakkab funksiya tuzishning bir sodda misoli sifatida qaragan edik. Endi bu masalaga umumiyroq yaqinlashamiz.
O xy tekislikda radiusi A ga teng markazi koordinatalar boshida yotgan aylana olamiz. M₀ boshlang’ich holatda turgan M
n uqta bu aylana bo’ylab burchak tezlik bilan aylanma harakat qilayotgan bo’lsin. OM₀ radius - vektor ox o’qning musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qilsin. t vaqtdan keyin M nuqta M_t holatni oladi. Bunda radius - vektor o’qining musbat yunalishi bilan burchak tashkil qiladi. Agar M nuqta aylana bo’ylab harakat qilaversa, uning M_y ordinata o’qdagi proyektsiyasi R va Q nuqtalar orasida tebranma harakat qiladi. Aylana bo’ylab harakatlanayotgan M nuqta bilan uning M_y proyektsiyasi orasidagi bog’lanishni o’rnatamiz. Sinus funksiya ning ta’rifiga ko’ra.
bunda .
(1) yoki (2) qonun bo’yicha sodir bo’ladigan tebranishlarni garmonik tebranishlar deb ataladi. Garmonik tebranishlar A, va parametrlar bilan to’liq aniqlanadi. Bu parametrlar maxsus nomlar bilan ataladi: A ni tebranish amplitudasi, ni tebranishning tsiklik (yoki doiraviy) chastotasi, ni tebranishning boshlang’ich fazasi, ni esa tebranishning fazasi deb ataladi. Bitta to’liq tebranish sodir bo’ladigan vaqt oralig’iga tebranish davri deyiladi. (2) qonun bo’yicha sodir bo’layotgan tebranishlarning tebranish davrini topamiz. (2) funksiya uchun ayniyatni qaraymiz. Bu ayniyat trigonometrik funksiya larning yig’indisini ko’paytmaga almashtirganimizdan keyin
kurinishni oladi uzgaruvchi miqdor bulgani uchun

bo’ladi; demak,

bo’ladi; bundan ,

T ning bu topilgan qiymatlari to’plamidan uning eng kichik musbat qiymatini olamiz. T bunday qiymatga n = 1 bo’lganda erishadi. T ning bu qiymatini T₀ orqali belgilaylik. .

Shunday qilib, funksiya ning T₀ tebranish davri A va ga bog’liq bo’lmas ekan.
T₀ ni quyidagicha mulohaza bilan ham topish mumkin. T₀ tebranish davri M nuqtaning bir marta to’liq aylanib chiqadigan vaqtiga teng. Aylana uzunligi 2A ga, nuqtaning chiziqli tezligi V esa ga teng, shuning uchun

T₀ vaqt ichida M nuqta to’liq aylanish qiladi, ya’ni nuqta radianga teng yoy chizadi. Shuning uchun
rad. bo’ladi. Bu yerdan
rad/sek. Bu yerdagi sekunddagi tebranishlar soni bo’lib, bo’ladi.
Shunday qilib tebranishlarning chastotasi va davri o’zaro teskari miqdorlar bo’lar ekan. (1) yoki (2) funksiya ning grafiklarini almashtirish qoidalaridan foydalanib y = cost (y = sint) funksiya ning grafigidan olish mumkin. y = funksiya grafigini y = sint funksiya grafigidan quyidagi almashtirishlar bilan hosil qilinadi:

1) y = sint funksiya grafigini Oy bo’yicha A marta cho’zish (qisish) bilan
y = Asint funksiya grafigi olinadi;
2) Olingan y = Asint funksiya grafigi nuqtalarining ordinatasini o’zgartirmasdan ularning abstsissalarini Ox o’q bo’ylab marta kamaytirib (oshirib)
y = Asint funksiya grafigini hosil qilamiz.
3) y = Asint funksiya grafigini Ox o’q bo’ylab chapga (o’ngga) siljitish bilan funksiya grafigini olamiz.
Har qanday garmonik tebranish ifodasini
(3)
ko’rinishda ifodalash mumkinligini ko’rsataylik. G‘o’shish teoremasiga ko’ra:

Bunda , desak, (3) tenglikni olamiz. Endi ikkita bir xil chastotali (davrli) garmonik tebranishlarning yig’indisi yana shunday chastotali (davrli) garmonik tebranish bo’lishligini ko’rsataylik. Bizga va ikkita bir xil chastotali garmonik tebranishlar berilgan bo’lsin. Bu tebranishlarning yig’indisini topamiz:


desak oldin chiqarilgan

formulaga muvofiq

bunda , esa


sistemadan aniqlanadi.
Agar desak, u holda
Shunday qilib, bir xil chastotali (davrli) ikkita garmonik tebranishlarni qo’shganimizda o’sqanday chastotali lekin boshqa amplitudali va boshlang’ich fazoli garmonik tebranish hosil bo’ladi. Ikkita har xil chastotali (davrli) garmonik tebranishlarni qo’shganimizda esa murakkab tebranishlar hosil bo’ladi. Bunday murakkab tebranishlarning grafigi sinusoidal egri chiziq bo’lmasligi mumkin.