А. А. Самарский, А. В. Гулин

L n [ / ( x ) ]
не сходится к f(x) равномерно на отрезке
[ а,
Ь].
Для заданной непрерывной функции 
}{х)
можно добиться схо­
димости за счет выбора расположения узлов интерполяции. Спра­
ведлива т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а (см. [24, с. 519]): 
если
f(x) непрерывна на [а, Ь], то найдется такая последовательность
Рис. 4. График интерполяцион­
ного многочлена для функции
135

---

сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс
сходится равномерно на [а, Ь].
Заметим, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кро­
ме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике 
вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочле­
нами высокой степени. Вместо этого применяется кусочнополино­
миальная интерполяция, пример которой будет рассмотрен в § 4.
§ 3. Интерполирование с кратными узлами
1
. 
Интерполяционный многочлен Эрмита. 
В предыдущих пара­
графах предполагалось, что в узлах интерполяции заданы только 
значения функции 
f(x).
Более общая постановка задачи интерпо­
лирования состоит в следующем.
В узлах xke [ a ,
b], k =
0, 1, . . . ,
т,
среди которых нет совпадаю­
щих узлов, заданы значения функции 
f (x h)
и ее производных 
f (l>(xh)
до порядка 7V*-— 1 включительно, t = 1, 2, . . . ,
Nk
—1. Таким образом, 
в 
каждой точке 
xh, k = 0,
1
, . . . ,
т,
известны
f ( x k), f'(xh),
Г * - 1’ 
(хк)
и, следовательно, всего известно 
N0 + Ni + .. . + Nm
величин. Требу­
ется построить алгебраический многочлен 
Ип{х)
степени 
п =
= N 0+ N l + ... + Мт
— I, для которого
tf< 4 v k) = r > ( * k), 
k = 0,
l , . . . , m , г =
0
, 
1
, . . . ,
N
h—
1
. 
(
1
)
Многочлен 
Нп{х),
удовлетворяющий условиям (1), называется 
интерполяционным многочленом Эрмита
для функции 
f(x).
Число 
А\
называется 
кратностью узла хк.
Докажем, что интерполяционный многочлен Эрмита существует 
и единствен. Условия интерполяции (1) представляют собой систе­
му линейных алгебраических уравнений относительно коэффициен­
тов а0, ад, . . . , ап многочлена
Нп{х) = а 0 + а1х + . .
. + а„
хп.
Число уравнений этой системы равно числу неизвестных и равно 
Лд + Лд-К. 
. + Nm.
Поэтому достаточно показать, что однородная си­
стема
H " ( x k) = Q,
6
= 0, 1, . . . , 
m, i = 0,
1, . . . , 
Nk
— 
1
, 
(2)
имеет только тривиальное решение а
0
= а, = . . . = оп =
0
.
Группа условий (2) при фиксированном 
k
и 
i = 0 ,
1, . . . ,
N
k—1 
означает, что число 
хк
является корнем кратности 
Nk
многочлена 
Нп(х).
Таким образом, многочлен 
Нп(х)
имеет всего с учетом крат­
ности не менее 
Na + N l + .. . + Nm= n + l
корня на [а, 
Ь].
Поскольку 
степень 
Н„(х)
равна 
п,
этот многочлен тождественно равен нулю, 
следовательно, равны нулю его коэффициенты и однородная систе­
ма уравнений (
2
) имеет единственное решение 
а0 — а1 — . .. = ап=
0
. 
Неоднородная система (
1
) однозначно разрешима при любых пра­
вых частях.
136

---

Поскольку значения / (i)(x*), /г = 0, 1, 
m, i = 0, 1, 
Л\— 1,
входят только в правую часть системы (
1
), коэффициенты 
as
мно­
гочлена 
Нп(х
) выражаются линейно через значения 
/ <0
(xk),
и этот 
многочлен можно представить в виде линейной комбинации
т N k- '
//„ ( * ) =
2
2
cki{ x ) f ( x k),
k = 0 i —0
где 
chi(x)
— многочлены степени 
п.
Ввиду громоздкости выражений для 
cki(x)
мы их не приводим. 
Получим представление для погрешности интерполирования
rn{ x ) = f ( x ) — Hn(x).
Для этого рассмотрим, как и в § 2, вспомогательную функцию
g ( s ) = f ( s ) —Hn(s) — Ka(s),
 
(3)
где 
К
— постоянная и
со (s) = (s — х,,)^ (s — x1)‘v‘ . . . (s — 
xm)N'n.
 
(4)
Постоянную 
К
выберем так, чтобы в точке интерполирования х 
выполнялось условие 
g{x)
=
0
, т. е. положим