А. А. Самарский, А. В. Гулин

д е э
 
предыдущих значения 
хк
и 
xh- t
по формуле
x k+ t ~ a k + i X k -f-
(1 
ctfc+i)
x k- i
Tft+i
a k + i w k ,
(28)
где 
wh = B~lrh, гк-=Ахк
—
f.
5. Минимизация погрешности. Перейдем к вопросу о выборе 
итерационных параметров в методе (26). Для погрешности 
zk=
= хк—х
получим уравнения
zk+i = ah+i(E— Tk+lB - ,A )zh-lr ( l — ah+i)zh-i,
&=1, 
2
, . . . ,
z ,= (£ —■
xiB~1A )za.
Введем, как и ранее, вспомогательную функцию 
vk = A '/2zk,
для 
которой |1щ|| = ||
24
||
л
. Функция 
vk
удовлетворяет уравнениям
Щ
+1
 =
 — 
xk+1C) vk
 + (1 — 
a.k+i) vk-u 
k — \,2 ,
. . ., 
(29)
Vi
 =
(E —
 TjC) 
v0,
 
(30)
где 
C = A,/2B~lA,/2.
Будем считать, что 
А
и 
В
— симметричные по­
ложительно определенные матрицы, удовлетворяющие неравен­
ствам
YiSs
^ А ^ « ( 2В,
 
>
7
* > 0. 
(31)
Тогда С* = С >0, причем
"fiE^C^-y^E.
 
(32)
Исключая последовательно из уравнений (29), (30) векторы 
vu v2, 
,
щ_1; найдем, что
vk = Ph(C)v0,
 
(33)
где 
Рк{С
) — многочлен степени 
k
от оператора С, удовлетворяю­
щий условию ДДО) 
=Е.
Поставим задачу выбрать итерационные параметры 
тк, ак
так, 
чтобы при любом /
1
=
1
, 2, ... была бы минимальной ||у„|| = ||z„IL. 
Обратим внимание на отличие от постановки задачи, возникающей 
при построении оптимального чебышевского набора итерационных 
параметров (см. § 
6
). Там при фиксированном 
п
требовалось най­
ти параметры, минимизирующие ||
2
„||А. Теперь же требуется боль­
шее— минимизировать ||zJ!A при каждом 
п.
121

---

Параметр 
ti
находится из условия минимума ||щ|| при заданном 
векторе у0. Так же, как и в методе скорейшего спуска, получаем
т ~ ? Г(Соь, 
ув)
1
ПС«оР
(34)
Отметим, что при таком выборе tj выполняется равенство (
Cvlt
у„) =
=
0
, т. е. векторы и, и и
0
ортогональны в смысле скалярного про­
изведения
(
и, v ) c~ (Си, v).
Далее, рассмотрим погрешность
vk= P k(C)v0,
возникающую на 
k-й
итерации, и запишем многочлен 
Рк(С)
в виде
Pk (C )= E + 2 арС\
(35)
1
= 
1
где 
а р
— числовые коэффициенты, определяемые параметрами а,-, 
Ti, t = l, 2 , . . . ,
k.
Тогда
k
Vk = V0
+ 2
aik)Clv0,
* = 1 , 2 , . . .
(36)
i
=l
Найдем условия, которым должны удовлетворять коэффициен­
ты а!"), минимизирующие ||п„||2. Из (36) получим