|
ки
х
0
в формуле (15) может играть любая из точек
ха, Xi, . . . , х„. Соответ
ствующее множество интерполяционных формул можно получить из (15) пере
нумераций узлов. Например, тот ж е самый многочлен
L„ (х) можно представить
в виде
Ln
М = / (■'"„) + ('' —
хп
)
f (хп> ха
-J +
+
(X
—
Хп) (X
—
Xn_ J f ( х п , Xn_ v
+ . . .
•■• + ( * —
х„) (X
—
Xn_ J . . . ( X — Xt) f
(xn,
Xn_ x
..........A'o).
(16)
Если
XoCxt <
a
'2< . . .
< x n,
to
(15) называется
формулой интерполирования
вперед, а (16) — формулой интерполирования назад.
§ 2. Погрешность интерполирования
1
.
Остаточный член интерполяционной формулы. Заменяя функ
цию
f(x)
интерполяционным многочленом
Ln(x),
мы допускаем по
грешность
rn{ x ) = f ( x ) —Ln(x),
которая называется
п о г р е ш н о с т ь ю и н т е р п о л и р о в а н и я
или, что то
же самое,
о с т а т о ч н ы м ч л е н о м и н т е р п о л я ц и о н н о й ф о р м у л ы .
Ясно,
что в узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оце
ним погрешность в любой точке г е [ й ,
Ь].
Для этого рассмотрим
вспомогательную функцию
g { s ) = f ( s ) — Ln(s)— Ka(s),
(
1
)
где s e [ a ,
b],
К
— постоянная и
И (s) = (s—
Ха)
(s—JCi) . . .
(s
X n )
.
(2)
Пусть требуется оценить
rn(x)
в заданной точке i e [ a ,
b],
не
являющейся узлом интерполирования. Выберем постоянную
К
из
условия
g(x) =
0. Для этого достаточно положить
/
(х) - Ln (х)
А = ------------- .
О) (
X)
Предположим, что /(s) имеет
п
+ 1 непрерывную производную
на отрезке
Функция
g ( s
) имеет не менее
п + 2
нулей на
этом отрезке, а именно в точках
х, хк, k = 0 ,
1, . . . ,
п.
Поэтому про
изводная
g'(s)
имеет не менее чем л +
1
нулей на [й,
b], g"
(s) —
132
не менее
п
нулей и т. д., функция g ,
7
l+
1
)(s) по крайней мере один
раз обращается в нуль на
[а, Ь].
Тем самым существует точка
| е [ а ,
b],
в которой g (n+
1
)( £ ) =
0
.
Поскольку
g ( s ) = / (n+I) (s) — (п + 1)!К,
получаем
/<п+1) (|) =
L(x). ~ Ln (Х) (п
+
1)1
fflW
Таким образом доказано, что
погрешность интерполирования
можно представить в виде
f
(х)
— и {х) = -
И (X),
(3)
(«+
1
)!
где
| е [ а ,
b
]
и оз(х)
—
многочлен, определенный согласно
(
2
).
Отсюда следует оценка
м
\ f ( x ) - L a( x ) \ ^ —
|ю(х)|,
(4)
(п
-г U!
где
МП11
— sup |
(х) | . В частности, если
f ( x
) — алгебранче-
х^[а,Ь]
ский многочлен степени
п
, то интерполирование, проведенное по
любым точкам
х0, х и
. . . ,
х п,
осуществляется точно, т. е. L„(
х)
=
= /( * ) •
З а м е ч а н и е . Наряду с интерполированием применяют и
экстраполиро
вание, т. е. вычисление значений функции f(x) в точках х е [ а , b ] по приближен
ной формуле
f ( x ) » L n (x), где L n ( x ) — интерполяционный многочлен. Однако
погрешность экстраполирования обычно оказывается существенно большей, чем
погрешность интерполирования. К этому выводу можно прийти, рассматривая
поведение многочлена а>(х) внутри и вне отрезка
[а, Ь].
Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются толь
ко формой записи, представление погрешности в виде (3) справед
ливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона.
Однако погрешность интерполирования можно представить и в дру
гом виде. Для этого рассмотрим разделенную разность
}
(
X
,
X
q
, X j, . . . ,
Х
п) —
/(*)
lx — Х0) (х — А'х) . . . (X — Хп)
+
+
П*
о)
(*о —
х) (х
0
— хд . . . (х
0
—
ХЛ)
. . .
+
НХп)
(хп
—
х)
(Хп
— х0)
...
(х„—
Хп_г)
имеющую порядок п+1. Отсюда найдем
(х — Xj) (х — Х2) . . . (X — хп)
f ( x ) = f (х0)
{х
0
— х
1
) ( х
0
— х
2
) . . . ( х
0
— х п)
(х
— х0)
(х —
хг) . . . (х
—
Хп_г)
+ П х п )
.......... +
{хп — *о) (*„ — хр . . . (Х„ - Xn_ J
+
{х — х0)
(х
—
х г)
. . . ( х —
Х п )
/ (X,
Х 0 , Х 1 г
. . . ,
Х п
) =
=
L n
(х ) + ( х — Х 0) (
х
— X
j
) . . . ( х —
Х п )
/ (х , х 0, . . . ,
Х п ) .
133
Таким образом, погрешность интерполяционной формулы мож
но представить в виде
f ( x ) —Ln(x)=a>(x)}(x, х0,
л-„ . . . .
хп).
(
5
)
Сопоставляя (3) и (5), видим, что существует точка
которой
c(di-l) /£\
f i x , Х0, Х1
..............
Хп) =
'
-
ff .
(пд- 1)!
[а, b],
для
(
6
)
Формула (
6
) устанавливает связь между разделенной раз
ностью порядка
п+
1
и ( л +
1
)-й производной функции
f(x).
2.
Оптимальный выбор узлов интерполирования.
Величину
|ш(х) |, входящую в оценку (4), можно минимизировать за счет вы
бора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подо
брать узлы
xk^ [ a , b], k = 0,
1
, . . . .
п,
так, чтобы минимизировать
величину
шах I
(х
—
х0) {х
—
x j
. . .
{х — хп)
I.
х^[а,Ь]
Эта задача уже рассматривалась в примере 1 из § 5 гл. 2. Она ре
шается, как мы знаем, с помощью многочлена Чебышева
Тп
fi
(х)
—
(Ь- д)П
22
П +
1
cos
( (n
-ф
1
) arccos
2
x —(b+ а)
b
—
а
(7 )
причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни мно
гочлена (7), т. е. точки
Xk —
cl
-j~
b
I
b
—
CL
(2& -f- 1)
n
------ -------
------
---------- COS
1
------ ,
2
2
2 (я + 1)
k = 0,
1,
. . . . n.
(
8
)
При этом
max | a (x) | =
x ~ [ a . h ]
(,
b - a ) n
+1
22
Л
+1
и оценка (4) примет вид
I fix) —
Ln
(x) I <
Mn
0
+
1
) !
( b_a
)n+1
9*/l+l
(9 )
3.
О сходимости интерполяционного процесса.
Возникает воп
рос, будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования
f {x )
—
Ln(x),
если число узлов
п
неограниченно увеличивать. Ответ,
вообще говоря, отрицательный.
Сформулируем определение сходимости интерполяционного про
цесса. Множество точек
х-и i =
0,
\, . . . , п,
таких, что
а ^ х
0
< х 1< . . ,< Х < Ь
назовем
сеткой
на отрезке
[а, Ь
] и обозначим через Q„. До сих пор
предполагалось, что число узлов интерполяции фиксировано. Пере
ходя к изучению сходимости интерполяционного процесса, необхо-
134
цимо рассмотреть последовательность сеток с возрастающим чис
лом узлов, а именно последовательность
О
0
= {х<0)},
Qi
= {411, 4 1’}, . • • ,
= {4П),
х[п\
. . . . 4"’}, • ..
Пусть функция
f(x)
определена и непрерывна на [а,
Ь].
Тогда
можно задать последовательность интерполяционных многочленов
Ln[f(x)
], построенных для функции
f(x)
по ее значениям в узлах
сетки Q„.
Говорят, что интерполяционный процесс для функции
f(x) схо
дится в точке
х * е[а,
Ь],
если существует
lim L* [ /( * * ) ] = /( * * ) .
Кроме поточечной сходимости рассматривается сходимость в
различных нормах. Например,
равномерная сходимость на отрезке
[а,
Ь]
означает, что
max |
f
(х) —
Ln
[/ (*)] |
О
х£=[а,Ь1
интерпо-
интерпо-
при
п-*-оо.
Свойство сходимости или расходимости интерполяционного про
цесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от
гладкости функции
f ( x ) .
Известны примеры несложных функций, для которых
ляционный процесс расходится. Так, последовательность
ляционных многочленов, построенных
для непрерывной функции
f(x) = \х\
по
равноотстоящим узлам
на
отрезке
[—
1
,
1
], не сходится к функции
\х\
ни
в одной точке отрезка [ —
1
,
1
], кроме
точек —1, 0, 1 (пример С. Н. Берн
штейна, см. [24, с. 519]). На рис. 4 в
качестве иллюстрации изображен гра
фик многочлена
Ь9(х)
при
построенного для функции
\х\
по рав
ноотстоящим узлам на отрезке [—
1
,
1
].
Более общее утверждение содер
жится в т е о р е м е Ф а б е р а (дока
зательство см. в [24, с. 515]):
какова
бы ни была последовательность сеток
Q„, найдется непрерывная на [а,
Ь]
функция
/(*)
такая, что последова
тельность интерполяционных
много
членов
Do'stlaringiz bilan baham: |
