А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . Хотя теорема 3 н не гарантирует оптимальности итераци­
онного метода, из оценки (21) следует сходимость метода, причем при малых 
\
число итераций, достаточных для достижения заданной точности е, оценивается
как
По
(?) =
In (2/е)
2 
V I
‘
§ 7. Итерационные методы вариационного типа *)
В предыдущих параграфах рассматривались такие итерацион­
ные методы реш ения системы
Ax= f,
(
1
)
*) При первом чтении этот параграф можно пропустить.
115

---

в которых для задания итерационных параметров требовалось знать 
границы v, и у, собственных значений матрицы 
А.
Рассмотрим те­
перь итерационные методы вида
Б Хкн~ 'Хк
+
Ах/г
= /, 
(
2
)
тйи
в которых параметры 
xk+i
выбираются из условия минимума по­
грешности IjXfc+t—xj|D при заданной погрешности 
\\хк
—x[|D. Здесь 
D
— заданная симметричная положительно определенная матрица, 
||о
||D = y(Dv, v ) .
В зависимости от выбора матриц 
D
и 
В
получим 
различные итерационные методы. Скорость сходимости таких мето­
дов не выше, чем у чебышевского итерационного метода. Преиму­
ществом их является то, что они не требуют знания границ спектра 
матрицы 
А.
1
. 
Метод минимальных невязок. Рассмотрим систему (1) с сим­
метричной положительно определенной матрицей 
А.
Обозначим 
через
гк= А хк—f
(3)
невязку
, которая получается при подстановке приближенного зна­
чения 
xh,
полученного на й-й итерации, в уравнение (1). Заметим, 
что погрешность 
zk = x
k—х и невязка 
rh
связаны равенством 
Azh = rk.
Рассмотрим явный итерационный метод
** 
+ A x k = f
TA+l
(4)
и перепишем его в виде
Xh+i = Xb Th+ifh.
(5)
Методом минимальных невязок
называется итерационный ме­
тод (4), в котором параметр т
А+1
выбирается из условия минимума 
Ikfc+il! при заданной норме ||r j . Получим явное выражение для ите­
рационного параметра тй+1. Из (5) получаем
и, следовательно,
Axk+l = Axh— xk+lArh
1~к+1
=
Г k Tk+iAr к,
(
6
)
т. е. невязка 
rk
удовлетворяет тому же уравнению, что и погреш­
ность 
Zh = XA
—
X.
Возводя обе части уравнения (
6
) скалярно в квадрат, получим 
I! 
rk+l
||2
= I 
rk
I
2
— 2т
й+1
(rk, Ark)
+ т
®+1
II 
Ark
f . 
(7)
Отсюда видно, что ||rft+1|] достигает минимума, если
1
--
(4'fe,