А. А. Самарский, А. В. Гулин

2. 
Оценки скорости сходимости в случае симметричных матриц
А и В.
Продолжим изучение итерационных методов решения си­
стем линейных алгебраических уравнений
Ax = f.
(3)
Будем по-прежнему рассматривать стационарные одношаговые 
итерационные методы
+ A x n = f .
(4)
т
Теорема о сходимости, доказанная в предыдущем параграфе, 
имеет принципиальное теоретическое значение и накладывает ми­
нимальные ограничения на матрицы 
А я В.
Однако ее непосредст­
венное применение к конкретным итерационным методам не всег­
да возможно, так как отыскание или исследование спектра матри­
цы 
S = E
—т
В~1А
является, как правило, более трудной задачей, 
чем решение системы (3).
В настоящем параграфе будет доказана теорема, в которой 
условия сходимости формулируются в виде легко проверяемых 
матричных неравенств, связывающих матрицы 
А
и 
В.
Аналогич­
ная теорема о сходимости была доказана в § 
2
, однако там не бы­
ли получены оценки скорости сходимости.
Будем рассматривать решение 
х
системы (3) и последователь­
ные приближения 
хп
как элементы конечномерного линейного про­
странства 
Н,
а матрицы 
А, В
и другие — как операторы, действую­
щие в пространстве 
Н.
Предположим, что в 
Н
введены скаляр­
ное произведение 
(у,
о) и норма ||у||=У(у, у). Для двух симмет­
ричных матриц 
А я В
неравенство 
А ^ В
означает, что 
{Ах, х
^
{Вх, х)
для всех х е Я . В случае симметричной положительно 
определенной матрицы 
D
будем обозначать ||у||с = УФу, 
у).
Т е о р е м а 1. 
Пусть А и В
— 
симметричные положительно
определенные матрицы, для которых справедливы неравенства
^ В ^ А ^ г В ,
 
(5)
где Yi, 
Чг— положительные постоянные, y2>4i- При
т
 =
2
/ (
ч
,+
ч
2) 
(
6
)
итерационный метод
(4) 
сходится и для погрешности справедливы
оценки
\\хп — х\\А
 sSprtK — -Ф , 
п = 0,
1, . . . ,
(7)
I 
%п 
X
 |я 
5
С] 
рп
 || 
Хд 
х
 ||в, 
п =
 
0
,
1
, . . . ,
(
8
)
96

---

где
||
у
||
a
 = ^ ( A
v
, 
v
), \\
v
\\
b
 = ^ ( B
v
, 
v
) 
u
P
1 - 6
1
+
6
.Yi
T
2
(9 )
Доказательство теоремы 1 будет дано в п. 4. Сделаем необхо­
димые замечания и приведем следствия из этой теоремы.
Рассмотрим обобщенную задачу на собственные значения
Лр = АДр. 
(
10
)
Если для матриц 
А и В
выполнены неравенства (5), то из (10) 
для любого собственного вектора получим неравенства
Tfi(fip, р) < (Лр, р) = М £ р , Р-) 
Н-)-
Отсюда следует, что
Y iS amin(S -M ), 
Ъ Ж * ЛВ~1А),
 
(11)
где Хшщ(5- М) и 
Хтгл{В~1А
) — минимальное и максимальное соб< 
ственные числа задачи (
10
).
Таким образом, наиболее точными константами, с которыми 
выполняются неравенства (5), являются константы