А. А. Самарский, А. В. Гулин

т о
 
существует
А-1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно 2) все собственные числа мат­
рицы 
А
положительны, следовательно, detA=A=0 и существует А-1.
4)
Д ля симметричной матрицы S и любого числа 
р > 0
эквива­
лентны следующие
матричные неравенства:
— 
p E ^ S ^ p E ,
(15)
Sas^p2£ . 
(16)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно свойству 2) условие (15) экви­
валентно неравенствам
|
sa
|< P ,
/г= 
1
, 
2
, . . . , m,
где 
sk
—- собственные числа матрицы S. Отсюда получаем 
^ р “, 
k =
 
1
,
2
, . . . , m, что в свою очередь эквивалентно (16).
5) 
Если
АГ=Л
и
Л^гО (А > 0 ), 
то существует матрица В, об­
ладающая следующими свойствами:
Вг = А, 
ВТ 
= 
В, 
В ^  
0 (В > 0). 
(17)
Эта матрица называется 
квадратным корнем из матрицы А 
и 
обозначается Л1/2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 
Xi
— собственные числа матрицы 
Л, t = l , 2, . . . ,
m.
Согласно свойству 
1
) существует ортогональная 
матрица 
Q
такая, что
QAQr = A =diag[X 1, 
Хг,
Xml-
Поскольку все 
Xi
неотрицательны, можно определить матрицу 
Аиг
как
А1/1 = diag[УХь 
У К
- ••> УМ-
Тогда матрица 
B = QTAl,2Q
обладает свойствами (17).
6
) 
Пусть 
ЛТ=Л 
и L
— 
невырожденная матрица. Тогда эквива­
лентны неравенства
Л ^О , 
LTAL^zO.
09
4
*

---

Аналогично, эквивалентны строгие неравенства
Л > 0 , 
LTA L >
0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого 
х ^ Н
имеем (
L TALx
, я) =
=
(ALx, Lx).
Значит, 
LTA L ^ O ,
если ЛТ^О. Докажем обратное. Так 
как L
-1
существует, любой х е Я можно представить в виде 
x = Ly,
где 
y = L~lx.
Тогда получим
(Ах, х) = (LTALy, y ) ^ z
0,
т. е. Л ^О .
7) 
Если А и В
— 
симметричные и L
— 
невырожденная матри­
цы, то эквивалентны неравенства
Л ^ В , 
LTA L ^ L TBL.
Доказательство следует немедленно из (
6
).
8
) 
Пусть СТ= С
> 0 
и а,
(3 — 
любые действительные числа. Тог­
да эквивалентны неравенства
аС~^$Е, a
В ^ р С -1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно 5) существует матрица С
1/2
= 
= (С,/
2
)Г> 0 . Используя свойство 7), перейдем от первого неравен­
ства ко второму с помощью следующей цепочки эквивалентных 
неравенств:
а 
(СГ%) С (С'А)
р (
С~'Л) (С~'л),
а (С-'ЛС%) (С%С~%)
5* PC"1, 
аЕ
Ут; PC-1.
9) 
Пусть
ЛГ= Л > 0, ВТ = В > 0, а
и
р —
любые действительные
числа. Тогда эквивалентны неравенства
а
Л^=г[ЗВ, 
аВ _
1
^ р Л _‘.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая первое неравенство слева и 
справа на В-1/2, перейдем к эквивалентному неравенству
« С > р £ , С = В -
1
/
2
Л В-1/2.
Согласно 
8
) последнее неравенство эквивалентно неравенству 
а В ^ р С -1, т. е.
а £ ^ р В
1
/
2
Л -‘5 1/2,
умножая которое слева и справа на