А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . В с л у ч а е
п =
1 м е т о д ( 2 ) — ( 4 ) с о в п а д а е т с м е т о д о м п р о с т о й
и т е р а ц и и
г д е
т = т
0
=
2
^•min (^) Т" ^шах (^)
И з т е о р е м ы 1 с л е д у е т , ч т о т = т 0 я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м з н а ч е н и е м п а р а м е т р а т
в м е т о д е п р о с т о й и т е р а ц и и . О ц е н к а ( 5 ) , ( 6 ) в с л у ч а е я = 1 п р и н и м а е т в и д
11*1— * 1 К р о И * о — *11-
Т о ч н о т а к ж е д л я л ю б о й и т е р а ц и и
k
с п р а в е д л и в а о ц е н к а
Il*ft+
1
—*
1
Кро||*Ц—*
11
,
о т к у д а
И *Й ---* II =£ Ро II *0 — * В-
Э т а о ц е н к а п о г р е ш н о с т и м е т о д а п р о с т о й и т е р а ц и и б ы л а п о л у ч е н а д р у г и м с п о ­
с о б о м в § 4 ( о ц е н к а ( 1 3 ) и з § 4 ) .
Подсчитаем число итераций, достаточное для получения задан­
ной точности е при использовании явного метода с чебышевским на­
бором параметров. Из оценки (5) получим, что
I U , — * l l < e i i * „ — * | | ,
если 
qn
где 
qn
определено согласно (
6
). Таким образом прихо­
дим к неравенству
1
+
р
Г 
^ 2
решая которое относительно 
2
= р1" >
1
, получим
_
1
_ . 
1
-Ц Л — Е
2
р? 
е
Последнее неравенство будет выполнено, если потребовать 1/р">
^
2
/е, т. е.
">,цМНг^- 
<12>
В наиболее неблагоприятном случае, когда отношение | =
= Я , т ! а ( ^ ) Д т а х ( ^ ) М Э Л О , И М в в М
I n —
= = l n
« 2 / 1
Pi 
V 1 -/S /
111

---

и из (
12
) получим следующее приближенное выражение для числа 
итераций:
«0
(е)
In (2/е)
2 V I
(13)
Таким образом, при малых £ явный итерационный метод с че- 
бышевским набором параметров требует _для достижения заданной 
точности е числа итераций л0(£) = 0 (1 /У !). Именно в этом состоит 
его преимущество перед методом простой итерации, для которого 
согласно (14) из § 4 имеем л0(|) = 0 ( Щ ) .
2. 
Численная устойчивость итерационного метода с чебышев- 
ским набором параметров. Как уже отмечалось в примере 2 из п. 4