А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 5 оценка погрешности (5) остается одной и той же при различ­
ном упорядочении набора итерационных параметров (3). Теорети­
чески эти параметры можно использовать в любом порядке. Напри­
мер, можно взять их в том порядке, как это указано в формуле (3). 
Можно использовать параметры в обратном порядке, т. е. поло­
жить
ТА:
То
1
+ Pc/n-j
■к+1
* =
1
,
2
.
п.
Однако при практическом применении метода было обнаруже­
но, что порядок выбора параметров существенно влияет на числен­
ную устойчивость метода. Оказалось, что использование парамет­
ров в произвольном порядке может привести к недопустимо силь­
ному возрастанию вычислительных погрешностей. Дело в том, что 
рассматриваемый метод, вообще говоря, не гарантирует монотон­
ного убывания погрешности от итерации к итерации. Запишем 
уравнение для погрешности (7) в виде
zk+l= (Е
т 
ii+iA)zk.
Норма оператора перехода 
Е
—тй+1Л данного итерационного мето­
да может оказаться больше единицы для нескольких соседних ите­
раций, что и приведет к возрастанию погрешности. Иногда вычис­
лительная погрешность возрастает настолько сильно, что происхо­
дит переполнение арифметического устройства ЭВМ.
Здесь можно провести аналогию с вычислением произведения 
нескольких чисел. Рассмотрим следующий пример. Пусть на неко­
торой ЭВМ машинным нулем является число Л4„=10~р, а машин­
ной бесконечностью — число 
=
10р, где 
р >
0. Попытаемся вычис­
лить на этой ЭВМ произведение пяти чисел 10р/2, 10р/4, 10_р/\
103р/4, 10_3р/1. Это произведение равно 10
р/4
и принадлежит допу­
стимому интервалу чисел 
(М0,М „).
Однако результат вычисления на ЭВМ будет зависеть от того, 
в каком порядке перемножаются данные числа. При перемножении 
в порядке убывания
103р/4
• 
10Р/2
■
10Р/4
■ 
10_р/2
■
10-3р/4
уже выполнение первого умножения приводит к переполнению, так 
112

---

как 10
5
p/
4
>Afoo. После этого вычисления прекращаются, и мы про­
сто не сможем вычислить все произведение. При перемножении в 
порядке возрастания
10-3р/4
■
10 -р/2
• 
1 0Р/4
• 
10р/2
• 
1
03p/i
после первого умножения получаем число 10
~5p/i< M 0r
которое по­
лагается равным нулю, следовательно, равным нулю оказывается 
и все произведение. Если же расположить сомножители в таком 
порядке:
10
_
3
р/
410
Р/
2103
р/
410
~р/
210
р/4,
то удается довести вычисления до конца и получить правильный 
результат.
В настоящее время известен алгоритм построения такого упо­
рядоченного набора итерационных параметров (3), для которого 
итерационный метод (2) является устойчивым. Подробное изложе­
ние этого алгоритма можно найти в [32].
3.