А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . Для вещественных 
х правая часть выражения (1) опреде­
лена только при | х | ^ 1 . Если | х | ^ 1 , то многочлен 
Тп (х) доопределяется фор­
мулой
Тп (х) = 2_га ((х + V х ^ Г \ ) п + (х - У ^ Г \ ) п).
Возможность такого доопределения объясняется тем, что для любого комплекс­
ного числа 
z справедливо тождество
cos 
(п arccos z) = 0,5 ((z + У z1 — 1)га + (z — У z2 — l)'1).
Корни многочлена 
Тп(х)
расположены в точках
(2k +
1
) 
к
, 
л .
Xu =
cos ^----—- — , 
6 
=
0
,
1
—
2
n
1
,
(4)
а экстремумы — в точках
x.
= cos — , 
k = 0, \ , 
n,
R 
n
(5)
причем
7’n( ^ ) = ( - l ) ft2‘-", 
6
= 0 , 1 , . . . , « .
•Следовательно,
( 6 )
max |Г,г(л')| =
2
l_ft.
jce[-i,i]
(7)
Докажем теперь, что среди всех многочленов степени
п
со
старшим коэффициентом 
1
многочлен 
Тп(х)
наименее уклоняется 
от нуля на отрезке [— 1, 1]. Пусть Q „(x)— любой многочлен сте­
пени п со старшим коэффициентом 1. Обозначим
I 
Qn
|| = max | Q,,(*)|-
*e[—
l.i]
Л е м м а 1. 
Пусть существует система точек
— K * ; s S C i <
<
х[ < х '0^
1
(8)
такая, что
I 
Qn 
(x'k)
I 
=
I 
Qn
II, 
k = 0,
1
........ n, 
(9
причем числа Qn(x'k
) 
имеют чередующиеся знаки. Тогда среди
всех многочленов степени п со старшим коэффициентом
1
много­
член Qn(x) наименее уклоняется от нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим обратное, т. е. что суще­
ствует многочлен 
Qn(x)
степени 
п
со старшим коэффициентом 
1
, 
для которого H ^nlK IIQ J и, следовательно,
!(Ю)
S04
с константой
ре(Д , 
у , не зависящей от п, то итерационный метод
( 4 )
с х о д и т с я и д л я п о г р е ш н о с т и с п р а в е д л и в а о ц е н к а
\\хп—
x l L ^ p nl|x-
0
—
х\\А.
(29)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что выполнены 
условия леммы 3 при 
D=A.
Запишем неравенство (27) для 
D = A
102

---

для всех х е [ —1, 1]. Рассмотрим функцию 
R(x) = Qn(x)
—
Qn(x),
которая является многочленом степени 
п
—-
1
, отличным от тожде­
ственного нуля. Согласно условию леммы числа Q„ (х^) имеют че­
редующиеся знаки. Пусть для определенности
Q»(%) = ( - i)*||Q
4
fe = o, l, . . . .
п
(случай, когда 
Qn(xk)
= (—l ) ft+lIIQJI рассматривается аналогично). 
Тогда