А. А. Самарский, А. В. Гулин

Y l = ^ m i n ( 5 - M ) ,
Y2 = 7 , m a x ( S - M ) .
В этом случае параметр
___________________
2
______________
Т° ~
(^ А )
 +
(В-1 А)
называется оптимальным итерационным параметром, так как 
минимизирует величину
- 6
1
+
6
’
он
на множестве всех положительных 
у2,
удовлетворяющих усло­
виям (
1 1
).
Пусть А,т т(Л ) и А,тах(Л)— соответственно минимальное и мак­
симальное собственные значения матрицы 
А.
С л е д с т в и е 1. 
Если АТ= А >
0, 
то для метода простой ите­
рации
+ Axn = f
(
12
)
при
Т = Т 0 =
справедлива оценка
гое
р
0
==
^mln М) + ^гпах 
(А)
1 Хп — X 1 SS pj I Х0 — X ||,
-I
t 
^mir(^)
1
+ 
6
■М)
(13)
4
А. А. С а м а р с к и й . А. В. Гулин
97

---

С л е д с т в и е 2. 
Д ля 
симметричной 
матрицы А и
т„ =
•=2/(Хт
1
п(Л) +А,таД Л)) 
справедливо равенство
где
р
0
i - i
1
+ 
1
\\Е—
т
0
Л|| = р0, 
(А)
В приложениях часто встречаются задачи с плохо обусловлен­
ной матрицей 
А,
когда отношение tana* (Л) Ami „(Л) велико. В этом 
случае число р„ близко к единице и метод простой итерации схо­
дится медленно. Оценим число итераций п
0
(е), которое требуется 
в случае малых £ для достижения заданной точности е, т. е. для 
получения оценки
[рх„—х||<е||х0—*11-
Из условия р0п*<е получаем, что 
п ^ п 0(е),
где
In (
1
/е)
(е)
1
п (
1
/р0)
и при малых | имеем
« о ( е )
In (
1
/£) 
21
(14)
Таким образом, метод простой итерации (12) в случае малых £ 
является медленно сходящимся методом. Ускорить сходимость 
итерационных методов можно двумя способами: во-первых, за 
счет применения неявных итерационных методов (4), когда 
В ф Е
, 
и, во-вторых, оставаясь в классе явных методов, можно выбрать 
т = тп зависящим от номера итерации и таким, чтобы уменьшить 
общее число итераций. Применяется и комбинация этих двух спо­
собов, т е. используются неявные итерационные методы с пере­
менными итерационными параметрами.
Использование неявных итерационных методов (4) объясняет­
ся тем, что при соответствующем выборе матрицы 
В
отношение 
с 
W S - M )
й й 
й
6
= - ------- :---- для обобщенной задачи на собственные значения
(
10
) будет больше, чем отношение
^гт,|п
+iax
(А)
(А)
3. 
Правила действий с матричными неравенствами. Прежде 
чем переходить к доказательству теоремы 
1
, приведем необходи­
мые для дальнейшего сведения из линейной алгебры.
1
) 
Если А
— 
вещественная симметричная матрица, то сущест­
вует ортогональная матрица Q
(г. 
е. QT=Q~
’) 
такая, что A = Qr AQ,
где
А — 
диагональная матрица. На главной диагонали матрицы А
находятся собственные значения матрицы А.
Доказательство см. 
в [12, с. 156].
2) 
Д ля симметричной матрицы А неравенство
Л ^ О (Л > 0 ) 
эквивалентно неотрицательности
(
положительности
) 
всех ее соб­
ственных значений.
98

---

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя свойство 1), получим для лю­
бого х е / / , что
т
(Ах, х) = (QTAQx, х)
= (A
Qx, Qx) =
^
ку],
1 = 1
где 
%i 
— собственные числа матрицы А и г/, — 
i-я 
компонента век­
тора 
y = Qx.
Отсюда сразу следует, что если все 
Х ^ О
(ХЛ>0), то 
(Ах,
х ) ^ 0 для любого г е / /
((Ах, х)
> 0 для любого х=А=0). Об­
ратно, пусть 
Xj
— любое собственное число матрицы 
А.
Зададим 
вектор 
у,
у которого все компоненты кроме /-й равны нулю, а 
у,—
= 1. Так как матрица 
Q~l = QT
существует, для заданного вектора 
у 
найдется вектор х е Я такой, что 
Qx = y.
Но тогда
0 <
(Ах, х)
=
(Ау, у) =Х;,
т. е. 
Xj^O.
3) 
Если А Т
= А > 0 ,