А. А. Самарский, А. В. Гулин

1,/=1
и воспользуемся оценками
(Ах,
2
+
7
2 I 
ач
1х) =
l,i= 1 
1,/'=1
= {
2
\а-ч\*] + \
2
1 °/'1
хг
и
=1
 
i.i=i
Из условий симметричности и положительной определенности мат­
рицы 
А
имеем 
ац=ац,
а « > 0 , 
i,
/ = 1, 2, . . . ,
пг,
и поэтому предыду­
щая оценка приводит к неравенству
m 
m
(Ах, 
X
X
2
 
1
 
ач
 I 
xi =
 
2
 */ (S I 
ai>
 I + 
аи)
 • 
(9)
£,/=1 
£=1 
vV t 
/
88

---

i —
1
, 
2
, ..
Перепишем условие (
8
) в виде
an
+ S I 
аи
I < 2а«> 
!¥=1
Тогда из неравенства (9) получим
т.
(Ах, х)
< 2 ^
аих]
= 2 (Ш, х),
1 = 1
что и требовалось.
С л е д с т в и е 2. 
Пусть А
— 
симметричная положительно опре­
деленная матрица. Тогда метод верхней релаксации
(D
+ с
оА,) 
+ Axn = f
ш
сходится при условии
0 < с о < 2 . 
В частности, метод Зейделя
(со = 1) 
сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Метод верхней релаксации приводится к 
каноническому виду (2) с В = 0 + шЛ,, т=ш . Напомним, что исход­
ная матрица 
А
представляется в виде суммы 
A = D + A l + A 2,
где 
At
— нижняя треугольная, Л2— верхняя треугольная и 
D
— диаго­
нальная матрицы (см. (7) из § 1). Для симметричной матрицы Л 
матрица Л
2
является транспонированной к 
А и
поэтому
(Ах, х) = (Dx, х)
+ (Л
,х, х)
+
(Агх, х) = (Dx, х)
+ 2 (Л
{х, х ) .
Условие сходимости (4) принимает вид 
(Вх, х )
—0,5со(Лх, 
х)
=
=
((D + (oAt)x, х )
—0,5co((Z)x, 
х )+ 2 (А,х,
х)) = (1—0,5ы) 
(Dx,
л:) > О 
и выполняется при 
0
< м <
2
.
Рассмотрим еще вопрос о сходимости метода простой итерации 
хм,л — х„
^
----
n
- + Axn = f
(10)
т
с симметричной положительно определенной матрицей Л. Согласно
(4) метод сходится при условии
Е
—0,5тЛ > 0 . 
(11)
Какие ограничения на параметр т накладывает условие (11)? 
Пусть 
h, i —
1, 2, . . . , m,— собственные значения матрицы Л, рас­
положенные в порядке возрастания. Условие (11) эквивалентно 
тому, что все собственные значения матрицы 
Е
—0,5тЛ положитель­
ны. Достаточно потребовать положительности минимального соб­
ственного числа этой матрицы, равного 1—0,5тАт. Таким образом, 
итерационный метод (
10
) сходится, если
т
< 2
Д та1, 
(
12
)
где Х
та1
— максимальное собственное число матрицы Л.
89

---

Условие (
12
) и необходимо для сходимости метода (10), т. е. 
если (
12
) нарушено, то найдется начальное приближение 
ха,
при 
котором ||х„—х||-А0 при 
п
—
>-оо.
Докажем последнее утверждение. Возьмем в качестве началь­
ного приближения вектор x
0
= x-f-p, где 
х
— точное решение зада­
чи (1), а р — собственный вектор матрицы 
А,
отвечающий собст­
венному числу XmaI=X,m, т. е. Лц = Хт р. При таком выборе началь­
ного приближения имеем 
z0 = x0
—х = р . Из уравнения (3) при 
В = Е
получим
zn
= (
Е
—т Л)"
2
0= (
Е
—тЛ )пр
и, следовательно, 
zn=
(
1
—
г%т) пц,
||z„||= 
1 1
—тА™|"||р,||.
Если т =
2Хт,
то ||z„|| = | | р | | п р и «->-оо. Если же т > 2 
то |1—тЛщ,|>1 и ||zn||-voo при «-»-
оо.
Таким образом, условие (12) 
необходимо и достаточно для сходимости метода простой итера­
ции (
10
).
В заключение параграфа отметим, что теория итерационных ме­
тодов не заканчивается исследованием сходимости. При наличии 
хотя бы двух итерационных методов возникает вопрос о том, какой 
из этих методов сходится быстрее, т. е. для какого метода погреш­
ность ||хп—
х\\
станет меньше заданного числа е при меньшем чис­
ле итераций 
п.
Сюда же примыкает вопрос о нахождении итера­
ционных параметров, минимизирующих число итераций, необходи­
мых для получения заданной точности. Этот круг вопросов будет 
подробно рассмотрен в следующих параграфах.