9-Ma’ruza. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsanu ustun va satr ranglari. Ushbu tenglik berilgan bo`lib, bu tenglikdagi xaqiqiy sonlar ma`lum, xaqiqiy sonlar esa noma`lum bo`lsa

zinapoya tizim deyiladi.
2-teorema. Xar qanday chiziqli tenglamalar tizimi chekli sondagi elementar almashtirishlar orqali zinapoya tizimga keltirilishi mumkin.
I s b o t. Teoremaning isboti tizimlar va ularning kengaytirilgan matritsalari elementar almashtirishlari orasidagi moslikdan va 16-§ 4-teoremadan kelib chiqadi.
3-teorema. Agar bir chiziqli tenglamalar tizimidan ikkinchi tizimga chekli sondagi elementar almashtirishlar orqali o`tish mumkin bo`lsa, u xolda bu tizimlar teng kuchlidir.
I s b o t. Dastlab teoremani ( ) tizimdan ( ) ga bitta (I) tur elementar almashtirish orqali xosil qilingan xol uchun isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ( ) tizim birgalikda bo`lib, vektor ( ) ning biror echimi bo`lsin. U xolda bu vektor ( ) ning xam echimi bo`ladi, chunki ( ) va ( )lardagi tenglamalar bir xil bo`lib, faqat ( ) da ( ) ga nisbatan ikkita tenglamaning o`rni almashgan. Ikkinchi tomondan ( ) tizim xam ( ) dan (I) tur elementar almashtirish orqali xosil qilinadi. Bundan yuqoridagi muloxazaga ko`ra ( ) ning xar bir echimi ( ) ning xam echimi bo`ladi.
Demak, ( ) va ( ) tizimlar teng kuchli.
Endi ( ) tizim ( ) dan (II) tur elementar almashtirish orqali xosil qilingan xolni ko`ramiz. U xolda shunday va sonlar mavjudki, ( ) va ( ) tizimlarda r- tenglamalardan boshqa barcha tenglamalar bir xil, r-tenglamalarning koeffitsientlari va ozod xadlari esa quyidagicha bog`langan:

Faraz qilaylik, ( ) tizim birgalikda bo`lib, vektor ( ) ning biror echimi bo`lsin. U xolda bu tizimlarning r-tenglamalaridan boshqa barcha tenglamalari bir xil bo`lgani uchun x₀ vektor ( ) tizimning r- tenglamadan boshqa barcha tenglamalarini qanoatlantiradi. Bu x₀ vektor ( ) tizimni qanoatlantirgani uchun uning r- va q- tenglamalarini qanoatlantiradi:

Ikkinchi tenglikning ikki tomonini h ga ko`paytirib, birinchi tenglikka qo`shsak,

tenglikni olamiz. Bu esa vektorning ( ) daga r- tenglamani xam qanoatlantirishini ko`rsatadi. Demak ( ) ning xar bir echimi ( ) ning xam echimi ekan, Ammo ( ) xam ( ) dan (II) tur elementar almashtirish orqali xosil qilinadi. Bundan yuqoridagi muloxazalarni ishlatib, ( ) ning xar bir echimi ( ) ning xam echimi ekanligi olinadi.
YUqorida keltirilgan muloxazalardan ko`ramizki, agar tizimlarning birortasi ikkinchisidan bitta elementar almashtirish orqali xosil qilingan bo`lsa, u xolda bu tizimlarning birortasi birgaliqqa bo`lsa, ikkinchisi xam birgalikda va ular bir xil echimlarga ega. Bunga asosan, agar ularning birortasi birgaliqqa bo`lmasa, ikkinchisi xam birgalikda bo`lmaydi. Bu bilan teorema ( ) tizim (a) dan bitga elementar almashtirish orqali xosil qilingan xolda isbotlandi.
Bundan foydalanib, umumiy xol matematik induktsiya usuli yordamida isbotlanadi.
Natija.