7-mavzu: Aniq intеgralning ta'rifi va uning xossalari. Reja : Aniq intеgralga kеltiruvchi masalalar. Nyuton-Lеybnits formulasi

1-misol
.
x
d
e
x



0
2
(Puasson integrali) yaqinlashishga tekshirilsin. 
Bu integralning ehtimollar nazariyasida ahamiyati juda katta. 
y 
2
1
x
y

-1 0 1
x

---

x
d
e
x
d
e
x
d
e
x
x
x










0
1
0
0
2
2
2
Birinchi integral 
x
d
e
x


1
0
2
- (xosmaslik yo‘q). 
[0, 1] da Gauss egri chizig‘i bilan chegaralangan soha yuzini ifodalaydi. 
ya’ni aniq sondan iborat. 
x
d
e
x



1
2
integralni ko‘ramiz: 
Ma’lumki 
1
0
2





x
e
e
x
x
da 
U holda 
 
e
e
e
e
x
d
e
x
d
e
b
b
b
x
b
b
x
b
x
1
1
lim
lim
lim
1
1
1
1




















x
d
e
x



1
yaqinlashuvchi bo‘lganligidan tengsizlikka asosan berilgan integral ham 
yaqinlashuvchi. 
2-misol
.
x
d
x
x


1
2
sin
integral yaqinlashishga tekshirilsin. 
Ma’lumki 
2
2
1
sin
x
x
x

. 
0 1 

---

x
d
x


1
2
1
yaqinlashuvchi u holda berilgan integral absolyut yaqinlashuvchi 
bo‘ladi. 
Ta’rif.
 
x
d
x
f


1
absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi, agar 
 
x
d
x
f


1
yaqinlashuvchi bo‘lsa, shartli yaqinlashuvchi bo‘ladi. 
2-teorema
.
Faraz qilaylik, 
 
x
f
va
 
x

funksiyalar [
a, b
] intervalda 
   
x
f
x



0
tengsizlikni qanoatlantirib shu intervalda uzluksiz bo‘lsin va 
x=b
nuqtada uzilishga ega bo‘lsin. U holda 
a) agar
 
x
d
x
f
b

1
integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, 
 
x
d
x
b

1

ham yaqinlashuvchi. 
b) 
 
x
d
x
b

1

integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, 
 
x
d
x
f
b

1
integral ham uzoqlashuvchi 
bo‘ladi. 
Misol.


1
0
4
1
x
x
d
x
yaqinlashuvchilikka tekshiring. 
x=
1 da uzilishga ega. 
x
x
x



1
1
1
4
(chunki 
 
1
,
0
1
1
4
4





x
x
x
x
x
) 




2
2
2
lim
1
2
lim
1
lim
1
0
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
4






















x
x
d
x
x
x
d
x
yaqinlashuvchi. 
U holda teorema shartiga asosan berilgan integral ham yaqinlashuvchi 
bo‘ladi. 
3-teorema
.
Agar
 
x
f
funksiya ishorasini almashtiruvchi [
a, c
] kesmada 
bo‘lsa, 
c
nuqtada uzilishga ega bo‘lsa va 
 
x
d
x
f
c
a

yaqinlashsa unda 
 
x
d
x
f
c
a

ning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. 

---

Tayanch iboralar 
* Integral yig‘indi * Aniq integral * Integral ostidagi funksiya * Integral ostidagi 
ifoda * Integrallash o‘zgaruvchisi * Quyi chegara * Yuqori chegara 
 
* Integrallanuvchi funksiya * Integralning geometrik ma’nosi * Integralning 
mexanik ma’nosi * Integralning iqtisodiy ma’nosi * Funksiyaning o‘rta qiymati
 
Takrorlash uchun savollar 
1.
 
Funksiyaning berilgan kesma bo‘yicha integral yig‘indisi qanday hosil 
qilinadi? 
2.
 
Aniq integral qanday ta’riflanadi? 
3.
 
Qaysi shartda funksiya berilgan kesmada integrallanuvchi deyiladi? 
4.
 
Integrallanmovchi funksiyaga misol keltira olasizmi? 
5.
 
Qaysi shartda funksiya berilgan kesmada integrallanuvchi bo‘ladi? 
6.
 
Integralning geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
7.
 
Integralning mexanik ma’nosi qanday ifodalanadi? 
8.
 
Integralning iqtisodiy ma’nosi nimadan iborat? 
9.
 
Aniq integralning quyi va yuqori chegaralari nima? 
10.
 
Aniq integralda quyi va yuqori chegaralar o‘rni almashtirilsa nima bo‘ladi? 
11.
 
Aniq integralda o‘zgarmas ko‘paytuvchini nima qilish mumkin? 
12.
 
Funksiyalarning algebraik yig‘indisidan olingan aniq integral qanday 
xossaga ega? 
13.
 
O‘zgarmas funksiyaning [
a
,
b
] kesma bo‘yicha aniq integrali nimaga teng? 
14.
 
Funksional tengsizlikni hadlab integrallash mumkinmi? 
15.
 
Integrallash kesmasida musbat bo‘lgan funksiyadan shu kesma bo‘yicha 
olingan aniq integral qiymati haqida nima deyish mumkin? 
16.
 
Integrallash kesmasida manfiy bo‘lgan funksiyadan shu kesma bo‘yicha 
olingan aniq integral qiymati haqida nima deyish mumkin? 
17.
 
Aniq integral uchun o‘rta qiymat haqidagi teorema qanday ifodalanadi? 
Funksiyaning kesma bo‘yicha orta uzunligi ; 
D) egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi ; 
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan. 
1.
Aniq integralning mexanik ma’nosini ko‘rsating. 
A) o‘zgaruvchi kuchning eng katta qiymati; 
B)o‘zgaruvchi kuchning eng kichik qiymati; 
C) o‘zgaruvchi kuchning momenti; 

---

D) o‘zgaruvchi kuchning bajargan ish; 
E) o‘zgaruvchi kuchning o‘rta qiymati.
2.
Aniq integralning iqtisodiy ma’nosini ko‘rsating. 
A) mahsulot ishlab chiqarishda mehnat unumdorligi; 
B) ishlab chiqarilgan mahsulot tannarxi; 
C) ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi; 
D) ishlab chiqarilgan mahsulot chakana narxi; 
E) mahsulot ishlab chiqarishda sarflangan xomashyo. 
3.
[
a
, 
b
] kesma bo‘yicha
y=f
(
x
) funksiya uchun 
S
n
(
f
) integral yig‘indi tuzishda 
quyidagi amallardan qaysi biri bajarilmaydi? 
A)
[
a
, 
b
] kesma 
x
i
(
i
=1, 2, ∙∙∙, 
n
–1) va 
x
0
=
a
, 
x
n
=
b
nuqtalar bilan 
n
bo‘lakka 
ajratiladi; 
B)
[
x
i–
1
, 
x
i
] (
i
=1, 2, ∙∙∙, 
n
) kesmalardan ξ
i
nuqtalar olinadi; 
C)
tanlangan ξ
i
nuqtalarda 
f
(
x
) funksiya qiymatlari hisoblanadi; 
D)
[
x
i–
1
, 
x
i
] (
i
=1, 2, ∙∙∙, 
n
) kesmalarning uzunliklari 
x
i
 –x
i–
1
=Δ
x
i
topiladi; 
E)
ko‘rsatilgan barcha amallar bajariladi . 
4.
[
a
, 
b
] kesmada aniqlangan
y=f
(
x
) funksiya uchun tuzilgan
integral yig‘indi orqali uning aniq integral qanday aniqlanadi? 
A) 
; B) 
; C) 
; 
D)
; E) to‘g‘ri javob keltirilmagan. 
5.
[
a
, 
b
] kesmada aniqlangan 
y=f
(
x
) funksiya uchun 
aniq integral 
qanday shartda doimo mavjud bo‘ladi? 
A) yuqoridan chegaralangan; B) quyidan chegaralangan; 
C) o‘suvchi; D) kamayuvchi; E) uzluksiz. 
6.
Aniq integralning xossasi qayerda xato ko‘rsatilgan? 
 




n
k
k
k
n
x
f
f
S
1
)
(

)
(
)
(
f
S
dx
x
f
n
b
a


)
(
max
)
(
f
S
dx
x
f
n
b
a


)
(
min
)
(
f
S
dx
x
f
n
b
a


)
(
lim
)
(
0
max
,
f
S
dx
x
f
n
x
n
b
a







b
а
dx
x
f
)
(

---

A) 
; 
B) 
;
C)
; 
D) 
; 
E) barcha qoidalar to‘g‘ri ko‘rsatilgan. 
7.
Aniq integral xossasini ifodalovchi
tenglik bajarilishi uchun
c
nuqta qanday shartni qanoatlantirishi kerak? 
A) 
c
<
a
; B)
c
>
b
; C) 
c=a 
yoki
 c=b
; D)
a
<
c
<
b
;
E) ko‘rsatilgan barcha shartlarda tenglik bajariladi . 
8.
Aniq integral uchun quyidagi tengliklardan qaysi biri o‘rinli emas? 
A) 
; B) 
; C)
; 
D) 
; E) keltirilgan barcha tengliklar o‘rinli. 
Mustaqil ish topshiriqlari 
1. Agar 
bo‘lsa quyidagi integrallarning 
qiymatlarini toping: 
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a






)
(
)
(
)]
(
)
(
[
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a






)
(
)
(
)]
(
)
(
[
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a





)
(
)
(
)
(
)
(
.)
(
)
(
)
(
const
k
dx
x
f
k
dx
x
kf
b
a
b
a









b
c
c
а
b
а
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
0
)
(


a
a
dx
x
f



a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(



b
a
b
a
dt
t
f
dx
x
f
)
(
)
(
3
)
(
,
5
)
(





b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
.
)]
(
)
1
2
(
)
(
[
)
;
)
(
)
1
(
)
;
)
(
)
1
(
)







b
a
b
a
b
a
dx
x
g
n
x
nf
c
dx
x
g
n
b
dx
x
f
n
a

---

. 
Faraz qilaylik, 
 
x
f
y

funksiya [
a, b
] kesmada uzluksiz bo‘lsin. Ushbu 
 
x
d
x
f
b
a

aniq 
integralni 
hisoblash 
talab 
qilinadi. 
[
a, 
b
] 
kesmani 
b
x
x
x
x
x
a
n
i


...,
,
...,
,
,
,
2
1
0
nuqtalar bilan 
n
ta teng qismga bo‘lamiz. 
Har bir bo‘lakning uzunligi: 
n
a
b
x



 
x
f
funksiyaning
n
i
x
x
x
x
x
...,
,
...,
,
,
,
2
1
0
nuqtalardagi 
qiymatini 
n
i
y
y
y
y
y
...,
,
...,
,
,
,
2
1
0
orqali belgilaymiz, ya’ni
 
 
 
 
n
n
i
i
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y




...,
,
...,
,
,
1
1
0
0
Quyidagi yig‘indilarni tuzamiz:


























n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
1
2
1
1
1
1
1
0
...
...
...
...
Bu yig‘indilardan har biri 
 
x
f
funksiya uchun integral yig‘indi bo‘ladi va shuning 
uchun 
 
x
d
x
f
b
a

integralni taqribiy ifoda etadi: 
 

















1
0
1
2
1
0
...
...
n
i
i
n
i
b
a
y
n
a
b
y
y
y
y
y
n
a
b
x
d
x
f
(1) 
 














n
i
i
n
i
b
a
y
n
a
b
y
y
y
y
n
a
b
x
d
x
f
1
2
1
...
...
(2) 
y 
 
 
 
x
f
y

 
 
 
 
 
 
 
 
0
x 
1-rasm
 

---

Bu formulalar to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulalaridir. 
Agar 
 
x
f
musbat va o‘suvchi funksiya bo‘lsa, u holda (1) formula ichki 
to‘rtburchaklardan tuzilgan pog‘onali figuraning yuzini ifodalaydi, (2) formula esa 
tashqi to‘rtburchaklardan tuzilgan pog‘onali figuraning yuzini ifodalaydi. 
Integralni to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi bilan hisoblashda qilingan xato 
n
soni qancha katta bo‘lsa, shuncha kichik bo‘ladi. To‘g‘ri to‘rtburchaklar
formulasining absolyut xatosi 


n
a
b
M
4
2
1

dan katta emas, bu yerda 
 
x
f
M


1
ning 
[
a, b
] kesmadagi eng katta qiymatidir. 
2.
[
a, b
] kesmani bo‘lishni avvalgidek qoldirib, 
x

xususiy intervalga mos 
keluvchi 
 
x
f
y

chiziqning har bir yoyini bu yoyning chetki nuqtalarini 
tutashtiruvchi vatar bilan almashtiramiz. Bu berilgan egri chiziqli trapetsiyani 
n
ta 
to‘g‘ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi bilan almashtirilganini bildiradi. 
Bunday figurani yuzi egri chiziqli trapetsiyaning yuzini to‘g‘ri 
to‘rtburchaklardan tuzilgan pog‘onali figuraning yuziga qaraganda ancha aniq 
ifodalashi geometrik jihatdan ravshandir. 
Bu trapetsiyalardan birinchisini yuzi 
x
y
y
0


2
1
, ikkinchisining yuzi 
x
y
y
1


2
2
, va 
hokazo bo‘lgani sababli 
y 
 
x
f
y

 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
0
2-rasm
 

---

 






































1
2
1
0
1
1
2
1
1
0
2
2
2
2
2
n
n
n
n
i
i
b
a
y
...
y
y
y
y
x
x
y
y
...
x
y
y
...
x
y
y
x
y
y
x
d
x
f
va


n
a
b
x



ekanligini eslasak 
 















1
2
1
0
2
n
n
b
a
y
...
y
y
y
y
n
a
b
x
d
x
f
(3) 
Bu trapetsiyalar formulasidir. 
n
soni qancha katta bo‘lsa va demak, 


n
a
b
x



qadam qancha kichik bo‘lsa, (3) 
taqribiy tenglikning o‘ng tomonida yozilgan yig‘indi shuncha katta aniqlik bilan 
integral qiymatini beradi. Trapetsiyalar formulasining absolyut xatosi 


2
3
12
n
a
b
M
2

dan katta emas, bunda 
 
x
f
M


2
ning [
a, b
] kesmadagi eng katta qiymatidir. 
3. 
[
a, b
] kesmani 
n=
2
m
ta juft miqdordagi teng qismlarga bo‘lamiz. 
1
0
x
,
x
va 
2
1
x
,
x
kesmalarga mos va berilgan 
 
x
f
y

egri chiziq bilan chegaralangan egri 
chiziqli trapetsiyaning yuzini 




,
y
,
x
M
,
y
,
x
M
1
1
1
0
0
0


2
2
2
y
,
x
M
uchta nuqtadan 
o‘tuvchi va simmetriya o‘qi 
OY
o‘qqa parallel bo‘lgan ikkinchi darajali parabola 
bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi bilan almashtiramiz. 
Bunday egri chiziqli tarpetsiya