|
1-misol.
y=cosx, y=
0 сhiziqlar bilan figuraning yuzi hisoblansin, bunda
2
,
0
x
.
Yechish.
2
,
0
x
va
2
,
2
3
x
da
0
cos
x
hamda
2
3
,
2
x
da
0
cos
x
bo‘lgani
uchun
4
1
1
1
1
2
3
sin
2
sin
2
sin
2
3
sin
0
sin
2
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
2
2
3
2
3
2
2
0
2
2
3
2
3
2
2
0
2
0
x
x
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
S
Demak,
S=
4 (kv.birlik)
y
1
1
S
3
S
x
0
2
-1
2-rasm
2-misol
.
1
2
x
y
va
x
y
3
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini
hisoblang.
Yechish.
Figurani yasash uchun avval ushbu
x
y
x
y
3
1
2
sistemani yechib,
chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.
Bu chiziqlar
A
(-2; 5) va
B
(1; 2) nuqtalarda kesishadi. U holda
.
.
2
9
3
8
2
4
4
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
birl
kv
x
x
x
x
d
x
x
x
d
x
x
d
x
S
b) Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
t
y
t
x
,
tenglamalari
parametrik shaklda berilgan chiziq bilan chegaralangan bo‘lsa, bunda bu
tenglamalar [
a, b
] kesmadagi biror
x
f
y
funksiyani aniqlaydi, bunda
,
t
va
b
a
,
.
U holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
x
d
y
S
b
a
formula bo‘yicha
hisoblanishi mumkin bo‘ladi. Buintegraldao‘zgaruvchinialmashtiramiz:
t
d
t
x
d
t
x
,
t
t
f
x
f
y
Demak,
t
d
t
t
S
(3)
3
2
1
-1 0 1
3-rasm
Bu formula chiziq parametrik tenglamalar bilan berilganda egri chiziqli
trapetsiyaning yuzini hisoblash formulasidir.
3-misol
.
t
b
y
t
a
x
sin
,
cos
ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi
hisoblansin.
Yechish.
Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2 ga ko‘paytiramiz.
a
x
a
uchun
0
,
1
cos
,
cos
,
1
cos
,
cos
t
t
t
a
a
t
t
t
a
a
b
a
t
d
t
b
a
t
d
t
a
t
b
S
0
2
0
sin
2
sin
sin
2
.
II.
AB
egri chiziq qutb koordinatalarida
f
formula bilan berilgan va
f
funksiya
,
kesmada uzluksiz bo‘lsin.
Ushbu
f
egri chiziq va qutb o‘qlari bilan
va
burchak hosil
qiluvchi 2 ta
,
nurlar bilan
n
ta ixtiyoriy qismlarga bo‘lamiz. O‘tkazilgan
nurlar orasidagi burchaklarni
n
...,
,
,
2
1
bilan belgilaymiz.
1
i
bilan
i
orasidagi biror
i
burchakka mos nurning uzunligini
i
orqali
belgilaymiz. Radiusi
i
va markaziy burchagi
i
bo‘lgan doiraviy sektorni
qaraymiz. Uning yuzi
i
i
i
S
2
2
1
ga teng bo‘ladi.
Ushbu yig‘indi
n
i
i
i
n
i
i
i
n
f
S
1
2
1
2
2
1
2
1
B
i
i
A
0
4-rasm
zinapoyasimon sektorning yuzini beradi.
Bu yig‘indi
kesmada
2
2
f
funksiyaning integral yig‘indisi bo‘lgani
sababli uning limiti
0
max
i
da
d
2
2
1
aniq integralga teng. Bu
i
burchak
ichida qanday
i
nur olishimizga bog‘liq emas. Demak,
OAB
sektorning yuzi:
d
f
d
S
2
2
2
1
2
1
4-misol
.
0
,
cos
1
a
a
kardioida bilan chegaralangan figuraning yuzini
hisoblang.
)
.
(
2
3
;
2
3
4
sin
4
1
sin
2
2
3
2
cos
2
1
cos
2
2
3
cos
cos
2
1
cos
1
2
1
2
2
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
1
birlik
kv
a
S
a
a
d
a
d
a
d
a
S
d
d
S
S
III.
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq
x
f
y
tenglama bilan berilgan bo‘lsin.
Bu egri chiziqning
x=a
va
x=b
vertikal to‘g‘ri chiziqlar orasidagi
AB
yoyining uzunligini topamiz.
cos
1
a
p
1
S
0
a
2
5-rasm
AB
yoyda abssissalari
b
x
x
x
x
x
a
n
i
...,
,
,...,
,
,
2
1
0
bo‘lgan
B
M
M
M
A
i
...,
,
...,
,
,
,
2
1
nuqtalarni olamiz va
B
A
M
M
M
M
M
A
n
n
1
2
1
1
...,
,
,
,
vatarlarni o‘tkazamiz,
ularning uzunliklarini mos ravishda
n
S
S
S
...,
,
,
2
1
bilan belgilaymiz.
AB
yoy
ichiga chizilgan siniq chiziqning uzunligi
i
n
i
n
S
S
1
bo‘lgani uchun
AB
yoyning uzunligi
i
n
i
S
S
S
i
1
0
max
lim
(4)
bo‘ladi.
Faraz qilaylik,
x
f
funksiya va uning
x
f
hosilasi [
a, b
] kesmada uzluksiz
bo‘lsin. U holda
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
S
2
2
2
1
yoki Lagranj teoremasiga asosan
f
x
x
x
f
x
f
x
y
i
i
i
i
i
i
1
1
bunda
i
i
x
x
1
bo‘lgani uchun
i
i
x
f
S
2
1
bo‘ladi.
Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa
y
i
M
B
1
i
M
i
y
x
f
y
2
M
i
x
1
M
A
x
0 a
b
6-rasm
n
i
i
i
x
f
S
1
2
1
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
x
f
funksiya uzluksiz, demak,
2
1
x
f
funksiya ham
uzluksizdir. Shuning uchun integral yig‘indining limiti mavjud va u quyidagi aniq
integralga teng:
b
a
n
i
i
x
x
d
f
x
f
S
i
2
1
2
0
max
1
1
lim
Demak, yoy uzunligini hisoblash formulasi:
b
a
b
a
x
d
x
d
y
d
x
d
x
f
S
2
2
1
1
(5)
ekan. Endi egri chiziq tenglamasi
t
t
y
t
x
,
,
(6)
parametrik ko‘rinishda berilgan bo‘lsin, bunda
t
va
t
uzluksiz hosilali
uzluksiz funksiyalar va
t
berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.
Bu holda (6) tenglama biror
x
f
y
funksiyani aniqlaydi. Bu funksiya uzluksiz
bo‘lib
t
t
x
d
y
d
uzluksiz hosilaga ega.
b
a
,
bo‘lsin. (5) integralda
t
d
t
x
d
t
x
,
almashtirish bajaramiz. U holda
t
d
t
t
t
S
2
1
yoki
t
d
t
t
S
2
2
(7)
Agar egri chiziq fazoda
t
z
t
y
t
x
,
,
(8)
parametrik tenglamalar bilan berilgan va
t
,
t
,
t
funksiyalar[
a, b
]
kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, egri chiziq aniq limitlarga
ega bo‘ladi va u
t
d
t
t
t
S
2
2
2
(9)
formula bilan aniqlanadi.
IV.
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziqning tenglamasi
f
(10)
bo‘lsin. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o‘tish formulasi:
sin
y
,
cos
x
yoki (10) dan foydalansak:
sin
f
y
,
cos
f
x
Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb qarab, yoy
uzunligini hisoblash uchun (7) formulani tadbiq qilamiz.
cos
f
sin
f
d
y
d
,
sin
f
cos
f
d
x
d
U holda
2
2
2
2
2
2
f
f
d
y
d
d
x
d
Demak,
d
S
1
2
2
2
(11)
Do'stlaringiz bilan baham: |
