|
parabolik trapetsiya
deyiladi. O‘qi
OY
o‘qqa
parallel bo‘lgan parabolaning tenglamasi
y
4
M
5
M
6
M
1
M
3
M
x
f
y
1
M
2
M
C
x
B
x
A
y
2
ko‘rinishda bo‘ladi.
A, B, C
koeffitsiyentlar parabolaning berilgan uch nuqta orqali
o‘tish shartidan bir qiymatli ravishda aniqlanadi. Shunga o‘xshash parabolalarni
kesmalarning boshqa juftlari uchun yasaymiz. Shunday yasalgan parabolik
trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi integralning taqribiy qiymatini beradi.
Dastlab bitta parabolik trapetsiyaning yuzini hisoblaymiz.
Lemma.
Agar egri chiziqli trapetsiya
C
x
B
x
A
y
2
parabola,
OX
o‘q va
oralig‘i 2
h
ga teng bo‘lgan 2 ta ordinata bilan chegaralangan bo‘lsa, u holda uning
yuzi
2
1
0
4
y
y
y
3
h
S
(4)
ga teng.
Isboti.
A, B, C
koeffitsiyentlar quyidagi tenglamalardan aniqlanadi:
C
h
B
h
A
y
C
y
C
h
B
h
A
y
holda
u
lsa,
bo'
h
x
agar
holda
u
lsa,
bo'
x
agar
holda
u
lsa,
bo'
h
-
x
agar
2
1
2
1
0
2
2
0
0
(5)
(5) tenglamalar sistemasidan:
y
2
M
1
M
C
x
B
x
A
y
2
0
M
2
y
1
y
0
4-rasm
0
2
1
2
1
0
2
2
1
2
2
1
y
y
h
B
,
y
C
,
y
y
y
h
A
Endi parabolik trapetsiyaning yuzini aniq integral yordamida aniqlaymiz:
C
h
A
h
x
C
x
B
x
A
x
d
C
x
B
x
A
S
h
h
h
h
6
2
3
2
3
2
2
3
2
Lekin,
2
1
0
2
4
6
2
y
y
y
C
h
A
Demak,
2
1
0
4
3
y
y
y
h
S
.
Bu lemmadan foydalanib, quyidagi taqribiy tengliklarni yoza olamiz:
m
m
m
x
x
x
x
x
x
y
y
y
h
x
d
x
f
y
y
y
h
x
d
x
f
y
y
y
h
x
d
x
f
m
2
1
2
2
2
4
3
2
2
1
0
4
3
....
..........
..........
..........
..........
4
3
4
3
2
2
2
4
2
2
0
Parabolik trapetsiyalarning yuzalarini qo‘shib, izlanayotgan integralning taqribiy
qiymatini beruvchi ifodani hosil qilamiz:
2
2
4
2
1
2
3
1
2
0
2
4
2
3
m
m
m
b
a
y
...
y
y
y
...
y
y
y
y
h
x
d
x
f
(6)
bunda
m
a
b
h
2
.
Bu Simpson formulasidir.
Agar
x
f
funksiya [
a, b
] kesmada 4-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, u holda
Simpson formulasining absilyut xatosi
4
2880
n
a
b
M
s
4
dan katta bo‘lmaydi, bunda
x
f
M
IV
4
ning [
a, b
] kesmadagi eng katta qiymatidir.
Misol.
Ushbu
1
0
x
1
x
d
J
integral taqribiy hisoblansin.
Yechish.
Avval berilgan integralning aniq qiymatini Nyuton-Leybnits
formulasi bo‘yicha hisoblaymiz:
69315
0
2
1
1
0
,
ln
x
ln
x
1
x
d
J
1
0
[0, 1] kesmani 10 ta teng bo‘lakka bo‘lamiz.
1
0
10
0
1
,
x
.
Quyidagi jadvalni tuzamiz:
i
0
1
2
3
4
5
i
x
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
i
y
1
0,90909
0,83333
0.76923
0.71429
0,66667
i
0
6
7
8
9
10
i
x
0
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
i
y
1
0,62500
0,58824
0,55556
0,52632
0,5
1) To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasidan foydalanib, (1) formula bo‘yicha:
71877
,
0
18773
,
7
1
,
0
52632
,
0
55556
,
0
58824
,
0
0,625
0,66667
0,71429
0,76923
0,83333
0,90909
1
0,1
J
(2) formula bo‘yicha:
66877
,
0
68773
,
6
1
,
0
5
,
0
52632
,
0
55556
,
0
58824
,
0
0,625
0,66667
0,71429
0,76923
0,83333
0,90909
0,1
J
Hosil qilingan natijaning xatosini baholaymiz.
2
1
1
1
1
x
x
f
,
x
x
f
[0, 1] kesmada
1
x
f
. Shuning uchun
1
1
M
. U holda, hosil qilingan natijaning
xatosi
025
0
40
1
4
2
1
,
n
a
b
M
kattalikdan ortmaydi.
025
0
02438
0
66877
0
69315
0
,
,
,
,
2) Trapetsiyalar formulasidan foydalanib, quyidagi natijani olamiz:
69377
0
52632
0
83333
0
90909
0
2
5
0
1
1
0
,
,
...
,
,
,
,
J
Hosil qilingan natijaning xatosini baholaymiz.
3
2
1
2
1
1
x
x
f
,
x
x
f
[0, 1] kesmada
2
x
f
. Demak,
2
2
M
.
U holda, olingan natijaning xatosi
001667
0
600
1
100
12
2
12
2
3
,
n
a
b
M
2
kattalikdan ortiq bo‘lmaydi.
3) Simpson formulasidan foydalanib
30
1
3
10
2
n
a
b
,
m
n
bo‘lganda (6) formula bo‘yicha quyidagi natijani olamiz:
1)
52632
0
58824
0
0
30
1
,
,
0,66667
0,76923
0,90909
4
,5
1
J
693146
,
0
72818
,
2
2
45955
,
3
4
5
,
1
30
1
55556
,
0
625
,
0
71429
,
0
83333
,
0
2
Hosil qilingan natijaning xatosini baholaymiz.
5
4
3
1
24
1
6
1
2
x
x
f
,
x
x
f
,
x
x
f
IV
[0,1] kesmada
24
x
f
IV
. Shuning uchun
24
4
M
.
U holda, olingan natijaning xatosi:
000008
0
10000
2880
24
10
2880
4
3
,
a
b
M
2
kattalikdan ortiq bo‘lmaydi.
000008
0
000004
0
0
69315
0
,
,
,693146
,
Uchala natijani aniq qiymat bilan taqqoslaganda Simpson formulasi qolgan ikkita
formuladan ancha aniq ekan, degan xulosaga kelamiz.
I.
a) Avvalgi o‘tilgan mavzulardan ma’lumki, agar [
a, b
] kesmada funksiya
0
x
f
bo‘lsa, u holda
x
f
y
egri chiziq,
OX
o‘qi va
x=a
hamda
x=b
to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
x
d
x
f
S
b
a
(1)
ga teng bo‘ladi. Agar [
a, b
] kesmada
0
x
f
bo‘lsa, u holda aniq integral
0
x
d
x
f
b
a
bo‘ladi.
Absolyut qiymatiga ko‘ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli
trapetsiyaning yuziga teng:
x
d
x
f
S
b
a
(1
)
Agar
x
f
funksiya [
a,b
] kesmada ishorasini chekli son marta o‘zgartirsa, u
holda integralni butun [
a,b
] kesmada qismiy kesmachalar bo‘yicha integrallar
yig‘indisiga ajratamiz.
0
x
f
bo‘lgan kesmalarda integral musbat,
0
x
f
bo‘lgan
kesmalarda integral manfiy bo‘ladi. Butun kesma bo‘yicha olingan integral
OX
o‘qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli algebraik yig‘indisini
beradi (1-rasm). Yuzlar yig‘indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida
y
x
f
y
+ +
x
0 a - b
1-rasm
ko‘rsatilgan kesmalar bo‘yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig‘indisini
topish yoki
x
d
x
f
S
b
a
(1
)
integralni hisoblash kerak.
b) Agar
x
f
y
1
1
va
x
f
y
2
2
egri chiziqlar hamda
x=a
va
x=b
to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo‘lsa, u holda
x
f
x
f
2
1
shart bajarilganda figuraning yuzi quyidagiga teng:
x
d
x
f
x
f
S
b
a
2
1
Do'stlaringiz bilan baham: |
