7-mavzu: Aniq intеgralning ta'rifi va uning xossalari. Reja : Aniq intеgralga kеltiruvchi masalalar. Nyuton-Lеybnits formulasi

2. 
Aniq integralning ta’rifi va xossalari.
Berilgan 
y=f
(
x
) funksiya [
а
, 
b
] 
kesmada aniqlangan bo‘lsin. Bu kesmani ixtiyoriy 
a
=
х
0
<
х
1

х
2

…

х
i

… 
х
n–1

х
n
 =b
bo‘linish nuqtalari yordamida 
n
ta
[
х
0
, 
х
1
], [
х
1
, 
х
2
], …, [
х
i–1
, 
х
i
], …, [
х
n–1
, 
х
n
] 
kichik kesmachalarga ajratamiz. Hosil bo‘lgan har bir [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1, 2, 3, …, 
n
) 
kichik kesmachalardan ixtiyoriy bir 

i
nuqtani tanlaymiz. Tanlangan 

i
nuqtalarda
berilgan 
f 
(
x
) funksiyaning
f
(

i
) (
i
=1, 2, 3, …, 
n
) qiymatlarini va [
х
i–1
, 
х
i
] 











n
i
i
n
V
V
V
V
V
1
2
1





n
i
i
i
t
f
V
1
)
(







n
i
i
i
n
t
f
V
1
)
(
lim


---

kesmachalarning 
х
i
–
х
i–1
=

х
i
(
i
=1, 2, 3, …, 
n
) uzunliklarini hisoblaymiz. Bu 
qiymatlaridan foydalanib ushbu yig‘indini tuzamiz:
(10) 
2-TA’RIF:
(10) tenglik bilan aniqlanadigan 
S
n
(
f
) yig‘indi 
y=f
(
x
) funksiya uchun 
[
a
,
b
] kesma bo‘yicha 
integral yig‘indi
deb ataladi. 
S
n
( 
f 
) integral yig‘indi ta’rifidan ko‘rinadiki uning qiymati [
х
i–1
, 
х
i
] kichik 
kesmachalar uzunligi 

х
i
, ularning soni 
n
va tanlangan 

i
nuqtalarga bog‘liq 
bo‘ladi. 
belgilash kiritamiz.
3-TA’RIF:
Agar 
S
n
( 
f 
) integral yig‘indilar ketma-ketligi 
n
→∞ va Δ
n
→0 
bo‘lganda 
x
i
bo‘linish nuqtalari hamda [
х
i–1
, 
х
i
] kichik kesmachalardan olinadigan 

i
nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmagan biror chekli 
S
( 
f 
) limitga ega bo‘lsa 
, bu limit qiymati 
S
( 
f 
) berilgan 
f
(
x
) funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan 
aniq integral
deyiladi. 
Berilgan 
f
(
x
) funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq integral 
kabi belgilanadi va ta’rifga asosan quyidagicha aniqlanadi : 
. (11) 
Bu yerda 
а
– aniq integralning 
quyi chegarasi
, 
b
– 
yuqori chegarasi
, [
a
, 
b
] –
integrallash kesmasi, 
x
–integrallash o‘zgaruvchisi,
f
(
x
) – 
integral ostidagi 
funksiya
,
f
(
x
)
dx 
– 
integral ostidagi ifoda
deyiladi. 
4-TA’RIF:
Agar 
f
(
x
) funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha olingan aniq 
integral 
mavjud bo‘lsa, unda 
f
(
x
) bu kesmada 
intеgrallanuvchi funksiya
dеb ataladi. 
Izoh:
Aniq integralning yuqorida keltirilgan ta’rifi olmoniyalik buyuk matematik 
Riman (1826–1866 y.) tomonidan taklif etilgan va shu sababli Riman integrali deb 
yuritiladi. Bundan tashqari aniq integralning Koshi, mashhur farang matematigi 
Lebeg (1875–1941 y.) va niderlandiyalik matematik Stilt’yes (1856–1894 y.) 
tomonlaridan kiritilgan ta’riflari ham mavjud va keng qo‘llaniladi. 




n
i
i
i
n
x
f
f
S
1
)
(
)
(

i
n
i
n
x





1
max

b
a
dx
x
f
)
(















n
i
i
i
n
n
n
b
a
x
f
f
S
f
S
dx
x
f
n
n
1
0
,
0
,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(


b
a
dx
x
f
)
(

---

Oldin ko‘rilgan masalalarga qaytsak, (3) va (11) tengliklarga asosan egri 
chiziqli trapetsiyaning yuzasi
, 
(6) va (11) tengliklarga asosan o‘zgaruvchi kuch bajargan ish 
, 
(9) va (11) tengliklarga asosan ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 
aniq integrallar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Bu tengliklarni aniq integralning 
gеomеtrik, mеxanik va iqtisodiy ma’nolari deb olishimiz mumkin. 
Aniq integral ta’rifidan ko‘rinadiki, berilgan 
f
(
x
) funksiya [
a
,
b
] kesmada 
integrallanuvchi bo‘lishi uchun ancha og‘ir shartlarni qanoatlantirishi kerak. 
Haqiqatan ham, qaralayotgan [
a
,
b
] kesmani bo‘linish nuqtalari 
x
i
(
i
=1,2, ∙∙∙, 
n
) va 
[
х
i–1
, 
х
i
] kesmalardan tanlanadigan 

i
nuqtalar qanday bo‘lmasin aniq integralni 
ifodalovchi (11) limit qiymati 
S
(
f
) bir xil bo‘lishi kerak. Bu esa har qanday 
funksiya uchun bajarilavermaydi. Masalan, [0,1] kesmada aniqlangan D(
x
) Dirixle 
funksiyasi uchun integral yig‘indini qaraymiz. Agar [
х
i–1
, 
х
i
] kesmachalardan 
olinadigan 

i
nuqtalar ratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i
)=1 va integral 
yig‘indi 
; 
agar 

i
nuqtalar irratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i
)=0 va integral yig‘indi 
bo‘ladi. Bu yerdan ko‘rinadiki, 
n
→∞ bo‘lganda
S
n
(
f
) integral yig‘indi limitining 
qiymati 

i
nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq. Bundan esa 
D
(
x
) funksiya [0,1] 
kesmada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi. 


b
a
dx
x
f
S
)
(


b
a
dx
x
f
A
)
(


b
a
dt
t
f
V
)
(
1
0
1
1
)
(
)
(
1
1
1
















n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
x
x
x
D
D
S

0
0
)
(
)
(
1
1










n
i
i
n
i
i
i
n
x
x
D
D
S


---

 Shu sababli (11) limitni, ya’ni 
integralni qaysi shartda mavjud bo‘lishini 
aniqlashimiz kerak. Bu savolga javob isbotsiz beriladigan ushbu teoremalarda 
keltiriladi. 
1-TEOREMA:
Berilgan [
a
,
b
] kesmada chegaralangan va unda chekli sondagi 
uzilish nuqtalariga ega bo‘lgan 
f
(
x
) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. 
NATIJA:
Berilgan [
a
,
b
] kesmada uzluksiz bo‘lgan 
f
(
x
) funksiya shu kesmada 
integrallanuvchi bo‘ladi. 
Haqiqatan ham, Veyershtrass teoremasiga asosan (VI bob, §4) [
a
,
b
] kesmada 
uzluksiz 
f
(
x
) funksiya shu kesmada chegaralangan bo‘lib, oldingi teorema 
shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli bu kesmada integrallanuvchidir.
Bu tasdiqlardan funksiyalarning nisbatan keng sinfi uchun ularning aniq 
integrallari mavjud ekanligini ko‘ramiz. Aniq integrallarning qiymatini topish 
(integralni hisoblash) masalasini kelgusiga qoldirib, bu masalani yechish uchun 
kerak bo‘ladigan aniq integralning xossalari bilan tanishamiz. 
Aniq integralning xossalari
. 
Avvalo yuqorida ko‘rib o‘tilgan aniq integral ta’rifiga 
ikkita qo‘shimcha kiritamiz. 

Aqar aniq integralda quyi 
a
va yuqori 
b
chegaralar (
a
<
b
) o‘rni almashsa, 
unda 
(12) 
tenglik o‘rinli deb qabul etamiz. Bunday qarorni quyidagicha tushuntirish mumkin. 
(12) tenglikning chap tomonidagi integralda 
x
integrallash o‘zgaruvchisi OX o‘qda 
x=a 
nuqtadan 
x=b
nuqtaga qarab o‘sadi va shu sababli 

х
i
=х
i
–
х
i–1
>0 bo‘ladi. O‘ng 
tomondagi integralda esa aksincha bo‘lib, 
x
integrallash o‘zgaruvchisi 
x=b
nuqtadan 
x=a
nuqtaga qarab kamayib boradi va unda δ
x
i
=
х
i–1
–
х
i
= –

х
i
<0 bo‘ladi. 
Demak, (12) tenglikdagi integrallar uchun ularning integral yig‘indilari faqat 
ishoralari bilan farq qiladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan, (12) tenglikni qabul 
etish mumkinligini ko‘ramiz. 

(12) tenglikdan
(13) 
deb qabul qilishimiz mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham bu holda 

b
a
dx
x
f
)
(




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(


a
a
dx
x
f
0
)
(

---

. 
Izoh:
Aniq integral ta’rifini ifodalovchi (11) tenglikdan ko‘rinadiki, uning 
qiymati biror sondan iborat bo‘ladi. Bu son faqat integral ostidagi 
f
(
x
) funksiya va 
[
a
,
b
] integrallash kesmasiga bog‘liq bo‘lib, integrallash o‘zgaruvchisiga bog‘liq 
emas. Shu sababli aniq integralda integrallash o‘zgaruvchisini har xil belgilash 
mumkin, ya’ni 
. 
I xossa:
Aniq integralda o‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan tashqariga 
chiqarish mumkin, ya’ni 
k
o‘zgarmas son bo‘lsa,unda 
(14) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
II xossa:
Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali 
qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni 
(15) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud 
deb hisoblanadi. 
III xossa:
Agar [
а
, 
b
] kesmada
f
(
x
)

0 va integrallanuvchibo‘lsa, unda uning 
aniq integrali uchun 
(16) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
IV xossa:
Agar [
а
, 
b
] kesmada
f
(
x
) va 
g
(
x
) funksiyalar integrallanuvchi hamda
f
(
x
)≤
 g
(
x
) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun 
(17) 










a
a
a
a
a
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
0
)
(
2
)
(
)
(






b
a
b
a
b
a
ds
s
f
dt
t
f
dx
x
f

)
(
)
(
)
(



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(











b
a
b
a
b
a
m
b
a
m
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
2
1
2
1


0
)
(


b
a
dx
x
f



b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(

---

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 
V xossa:
Agar 
a
<
c
<
b
va 
f
(
x
) funksiya [
a
,
c
] , [
c
,
b
] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [
a
,
b
] kesmada ham integrallanuvchi va
(18) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Izoh:
III xossani ifodalovchi (18) tenglik 
c
<
a
va 
c
>
b
holda ham o‘rinli 
bo‘ladi. Masalan, 
c
>
b
holda 
a
<
b
<
c
bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi 
mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi: 
. 
VI xossa:
Har qanday [
a
,
b
] kesmada o‘zgarmas 
f
(
x
)=1 funksiya integrallanuvchi 
va 
(19) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Izoh:
Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi 
[
a
,
b
] kesmadan iborat va balandligi 
f
(
x
)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini 
ifodalaydi va bu yuza 
S
=1∙(
b–a
)=
b–a
ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch 
hosil etish mumkin. 
VII xossa: 
Agar [
a
,
b
] kesmada (
a
<
b
) integrallanuvchi 
y=f
(
x
) funksiyaning shu 
kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda 
m
va 
M
bo‘lsa, unda 
aniq integral uchun
(20) 
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 





b
a
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(












b
a
c
b
c
a
c
a
c
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(






b
a
c
b
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
a
b
dx
dx
x
f
b
a
b
a





)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
b
a






---

III xossa:
Agar |
f
(
x
)| funksiya [
a
,
b
] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda 
f
(
x
) 
funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: 
(21)