Mashq qilish Keling, [ frac= frac <1>] raqamli ravishda Runge-Kutta usuli bilan. Biz yana $ (x_0 = 1 ), (y_0 = 1 ), ( Delta x = 0.1 ) va (x_= 2. ). Ushbu misolning analitik echimi [ sqrt <1 + 2 log>.]
Kerakli o'zgaruvchilarni aniqlang
ODE ni RK4 usuli bilan hal qiling
Eyder usuli bilan ODE ni echib oling
Ushbu misolda Eyler usuli eritmani yuqori baholagan, RK4 usuli esa juda to'g'ri ekanligini isbotlagan:
Runge-Kutta 2-tartib usuli Shaklning ikkita funktsiyasini baholash bilan boshlaymiz:
"Alfa" va "beta" - noma'lum miqdorlar. "F" va "F_2" atamalarining chiziqli kombinatsiyasini olish va "x" ning "x = x_0 + h" qiymatiga yaqinlashuvni olish va "alfa" va "beta" qiymatlarini topish edi. .
Teylorning seriyali usuli va yuqorida keltirilgan atamalar yordamida olingan qiymatlarni taqqoslab (men sizga batafsil ma'lumot beraman), ular quyidagilarni olishdi, ya'ni Runge-Kutta 2-tartib usuli:
Martin Vilgelm Kutta Vilgelm Kuttaotasi Wilhelm Kutta va onasi Anna Koschinsky edi. Uning o'zidan uch yosh katta bo'lgan ukasi Karl bor edi, u ham juda iste'dodli va doktorlik dissertatsiyasini olishga davom etdi. Kattaning fojiali ravishda ota-onasi u hali yoshligida vafot etdi va ukasi Karl bilan birga amakisi tarbiyasida Breslauga bordi. Aynan Breslada u gimnaziyada qatnashgan.
Gimnaziyani tugatgandan so'ng, Kutta 1885 yildan 1890 yilgacha Breslau universitetida tahsil oldi. Keyin u Myunxenga bordi va u erda 1891 yildan 1894 yilgacha u erda universitetda tahsil oldi. O'qish davomida matematika doimo uning asosiy mavzusi bo'lgan, ammo u keng qiziqishlarga ega, shuningdek, tillar, musiqa va san'at kurslarida qatnashgan. U bu qiziqishlarini hayoti davomida saqlagan. U Bavariya umumta'lim maktablarida dars berish huquqiga ega bo'lgan imtihonlarni topshirmadi va universitet o'qitishda yordam berishni afzal ko'rdi.
Kutta 1894 yildan boshlab Myunxendagi Technische Hochschule-ga matematika va fizika bo'yicha yordamchi sifatida tayinlangan. Keyinchalik u Technische Hochschule-da fon Deykning Oliy matematika kursi uchun mashq darslarini olib borishda yordamchi bo'ldi. Ushbu davrda u 1898 - 99 yillarni Angliyada Kembrij universitetida o'tkazdi. U dissertatsiyasi uchun Myunxen universitetida doktorlik unvoniga sazovor bo'ldi Beiträge zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen 00 1900 yilda uning tezis maslahatchilari - Ferdinand Lindemann va Gustav Bauer. Tezis keyingi yilda nashr etildi. Unda oddiy differentsial tenglamalarni echish bo'yicha hozirgi mashhur Runge-Kutta usuli mavjud.
Sebastyan Finstervalder Kutta ishlagan Myunxendagi institutda ham dars bergan va u aviatsiyaga qiziqqan. U institutga dastlabki samolyotlarning fotosuratlarini olib keldi va Kutta aviatsiya asosidagi matematikaga, ya'ni aerodinamikaga qiziqib qoldi. Mavzuni o'rganishi unga aerofoilni ko'tarish bilan bog'liq bo'lgan muhim formulalarni uning aylanish doirasi bo'yicha kashf etishga olib keldi. U aerodinamikaga oid habilitatsion tezisini 1902 yilda Myunxendagi Technische hochschule-ga topshirdi. U 1907 yilda Amaliy matematika favqulodda professori darajasiga ko'tarildi. Ikki yildan so'ng, 1909 yilda u Jena Universitetiga ko'chib o'tdi, keyin keyingi yili Axendagi Technische Hochschule-ga oddiy professor etib tayinlandi. U 1911 yilda Shtutgartdagi Technische hochschule-ning oddiy professori bo'ldi va 1935 yilda nafaqaga chiqqunga qadar u erda qoldi. Shtutgartda Kutta o'zining ilhomlantiruvchi taqdimotidan katta foyda ko'rgan muhandislarga o'qitishni jamladi.
U doktorlik dissertatsiyasida va habilitatsiya tezisida yozilgan ishi bilan tanilgan. Birinchisida oddiy differentsial tenglamalarni echish uchun Runge-Kutta usuli, ikkinchisida aerofilda ko'tarilishni beruvchi Jukovskiy-Kutta (yoki Joukovskiy-Kutta) teoremasi mavjud. Jukovskiy Kuttadan mustaqil ravishda kashfiyotlarni amalga oshirdi va Kuttadan to'rt yil o'tgach o'z versiyasini nashr etdi. Biroq, Kutta aerodinamikaga yanada muhim hissa qo'shdi. 1910 va 1911 yillarda Myunxenning Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften tomonidan (shu jumladan, Qirollik Bavariya Fanlar Akademiyasi) tomonidan chop etilgan ikkita muhim nashrini eslatib o'tamiz. Uber ebene Zirkulationströmungen nebst flugtechnischen Anwendungen Ⓣ va funktsiyalar nazariyasidan uning mashhur xaritalash teoremasini o'z ichiga oladi.
Kutta ishlagan yana ikkita mavzu - muzliklar va matematika tarixidagi tadqiqotlar. Uning muzliklarga bo'lgan qiziqishi, xuddi aerodinamikaga bo'lgan qiziqishi singari, Sebastyan Finstervalder tomonidan amalga oshirilgan. Kutta Sharqiy Alp tog'larida olingan fotosuratlar asosida muzliklarni o'lchagan va boshqalar bilan muzliklar qoplagan hudud xaritalarini tuzishda ishlagan. Boshqa mavzuda, ya'ni matematikaning tarixida, bizning birinchi sharhimiz shuki, bu Kutta uchun juda tabiiy qiziqish edi. Axir u tarixga, xususan tarixiy adabiyotga juda qiziqar edi, shuning uchun Myunxendagi Technische Hochschule-da matematika tarixi bo'yicha faol seminar bo'lib o'tganida, uni o'ziga jalb qiladigan soha bo'lganligi aniq edi. U Uollisning 1659 yilgi integratsiya va ellips uzunligi bo'yicha ishi to'g'risida maqola yozgan. Kutta maqolasi 1901 yilda nashr etilgan.
Kutta matematikaga qo'shgan ulkan hissasidan tashqari ajoyib inson edi. F Pfeiffer yozadi: -
