3. 3E: Runge-Kutta Usuli (Mashqlar) Matematika

Runge-Kutta usullari
Eylerning yarim qadam uslubidagi g'oyasi - biz qaerda va qayerga borganimiz o'rtasida "suvni sinab ko'rish". Bu bizga nima bilan shug'ullanayotganimizni va bizning yangi qadr-qimmatimiz qaerda bo'lishi kerakligini yaxshiroq tushunishga imkon beradi. Euler usuli ("RK1") va Eylerning yarim qadam usuli ("RK2") ODE oilasining kichik a'zolari bo'lib, "Runge-Kutta" usullari sifatida tanilgan.
Yuqori darajadagi Runge-Kutta usulini ishlab chiqish uchun biz hosil bo'lgan funktsiyani so'nggi hisoblangan echim bilan keyingisi o'rtasida yanada ko'proq "yordamchi nuqtalarda" tanlaymiz. Ushbu fikrlar eritma egri chizig'ining bir qismi hisoblanmaydi, ular faqat hisoblash yordamidir. Formulalar murakkablashishga moyildir, lekin hech bo'lmaganda keyingisini tasvirlab beray.
Uchinchi darajali Runge Kutta usuli "RK3" berilgan va qadam o'lchamlari ikkita oraliq nuqtani hisoblab chiqadi:
Ushbu usulning global aniqligi va shuning uchun biz uning "buyurtma" 3 uslubiga ega deb aytamiz. Yuqori darajadagi Runge Kutta usullari hisoblab chiqilgan bo'lib, 4 va 5 tartiblari eng ommabop.

1. 
   Yuqoridagi algoritmni amalga oshiruvchi imzo bilan rk3.m deb nomlangan Matlab funktsiyasi m-faylini yozing. Model sifatida rk2.m dan foydalanishingiz mumkin.
   
2. 
   2-mashqdagi sonli tajribani takrorlang (expm_ode yordamida) va quyidagi jadvalni to'ldiring. Kodni to'g'ri yozganingizni tasdiqlash uchun jadvalning birinchi satridan foydalaning.
   
3. 
   Jadvaldagi nisbatlarga asoslanib, usulning aniqligi tartibini baholang, ya'ni xatolar bahosidagi ko'rsatkichni baholang. bu holda butun son hisoblanadi.
   

Mayatnikning harakatini tavsiflovchi tenglamani mayatnikning vertikal bilan qilgan burchagini ifodalovchi bitta bog'liq o'zgaruvchi bilan tavsiflash mumkin. Tenglama koeffitsientlari mayatnik uzunligiga, bobning massasiga va tortishish konstantasiga bog'liq. Koeffitsient qiymatini 1,5 ga tenglashtirsak, tenglama
va dastlabki shartlarning mumkin bo'lgan to'plami

1. 
   Imzo bilan pendulum_ode.m nomli m-faylni yozing Imzo satridan keyin va boshqa kerakli joylarga sharhlar qo'yganingizga ishonch hosil qiling. Ustunli vektorni qaytarganingizga ishonch hosil qiling.
   
2. 
   Ushbu mashq siz tenglamalar tizimiga birinchi marta euler.m va rk3.m ni qo'llaysiz. Siz qo'shimcha tuzatishni bajarishingiz kerak bo'lishi mumkin! Birinchi tartibli Eyler usuli va uchinchi darajali RK3 usuli yordamida 0 dan 25 oralig'ida, boshlang'ich sharti y = [10] bilan va har bir usul uchun 100 ta qadam yordamida echimlarni solishtiring. Quyidagi jadvalni to'ldiring.
   
3. 
   E'tibor bering, energiya kafolatlari saqlanib qolishi kerak, ular -1 dan 1 gacha bo'lishi kerak. Ikkala echimning uchastkalarini solishtiring. Eylerning uslubiy echimida energiya tejashdan tashqari uning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadigan biron bir narsani ko'rayapsizmi? Menga uchastkaning nusxasini yuborishingiz shart emas.
   
4. 
   Eyder usuli bilan yana bir bor ODE yechimini toping, lekin 100 o'rniga 10000 qadamni ishlating. Xuddi shu er uchastkasida ham tozalangan Eyler eritmasini, ham asl RK3 eritmasini chizib oling va xulosangiz bilan qo'shing. Sizning fitnalaringiz to'rni tozalash Eylerga yordam berishini ko'rsatishi kerak, ammo RK3 bilan taqqoslaganda bu hali ham noto'g'ri. Iltimos, ushbu fitnani xulosangiz bilan qo'shib qo'ying.
   

ODE45
MATLAB-da raqamli usullardan foydalanish uchun biz yuqoridagi bosqichlardan o'tmasligimiz kerak, chunki MATLAB-da bir qator raqamli usullar mavjud. Ulardan biri ode45 bo'lib, u umumiy sifatida tanilgan turdagi usullarni ishlatadi. Runge-Kutta usullari. Ushbu usullar odatda Eyler uslubiga qaraganda kuchliroqdir.
Biz Runge-Kutta ortidagi matematikaga batafsil to'xtalishni istamaymiz, ammo Teylorning kengayishiga o'xshash ma'lumot mavjud. Eyler uslubida biz o'z echimlarimizni taxmin qilish uchun tegang chiziqdan (bu birinchi darajali Teylor polinomidir) foydalandik. Aslida, Runge-Kutta usullari yuqori darajadagi Teylor polinom yaqinlashuvlaridan foydalanadi.
Keling, ode45 buyrug'idan hozir foydalanishga harakat qilaylik.
Dy & frasl differentsial tenglamasini ko'rib chiqing_dx = gunoh (x). Biz avval dy & fraslni ifodalash uchun g (x, y) funktsiyani aniqlaymiz_dx :
Endi MATLAB-ga quyidagi buyruqni kiriting:
Bu MATLAB-ga y ni x funktsiyasi sifatida ode45 yordamida olingan, biz ko'rib chiqayotgan ODE eritmasiga yaqinlashuv deb belgilashini aytadi [0,10]. Oxirgi parametr 1, boshlang'ich shartni beradi y (0) = 1. Endi biz buni amalga oshirdik, biz fitna buyrug'ini ode45 ning eritmaning taxminiy grafigini ko'rish uchun avvalgidek ishlata olamiz.

Biz ko'rib chiqqan differentsial tenglamani ramziy ma'noda hal qilish juda oson. Keling, buni qilamiz.
Ode45 ning ikkita xususiyatini ta'kidlaymiz. Birinchidan, algoritm Eyler uslubiga qaraganda kuchliroq. Ikkinchidan, orqaga qayting va biz ode45 ga ulangan parametrlarni sinchkovlik bilan ko'rib chiqing, ular nisbatan kam. E'tibor bering, qadam kattaligi parametri yo'q va biz hisob-kitoblarimizning aniqligini sozlash uchun farq qiladigan boshqa parametr yo'q. Ular dastur tomonidan avtomatik ravishda tanlanadi (ode45 dasturining xususiyati, Runge-Kutta usullari uchun muhim emas). 3.4-mashqda biz ode45 natijalarini aniq sinab ko'rdik, chunki biz differentsial tenglamani qo'l bilan echishimiz mumkin edi, ammo amalda raqamli natijalarni ishlatishdan oldin noaniqlikni qidirishni unutmaslik kerak.
Endi ilgari berilgan savollardan biriga javob bera olamiz. Ushbu laboratoriya boshida biz drawode qanday ishlashini so'radik. Aslida, drawode oddiygina ode45-ni ikki marta chaqiradi, bir marta oldinga va bir marta orqaga qarab. Shunday qilib, biz Drawode-ni yuqori darajadagi polinomlardan foydalanib, boshlang'ich qiymat muammolariga echimlarni taxmin qilish uchun ishlatishimiz mumkin.
Bundan tashqari, Runge-Kutta algoritmlari bitta ODE dan ODE tizimigacha juda kam kontseptual farq bilan umumlashadi. Aslida ode45 buyrug'i differentsial tenglamalar tizimida ham qo'llanilishi mumkin. Agar sizga qiziq bo'lsa, help ode45 yozing.
: Teskari aloqa
Iltimos, quyidagi savollarga a alohida sahifa topshirig'ingiz oxirida.

• 
  Ushbu topshiriq sizni qancha vaqt davomida bajargan?
  
• 
  MATLAB-dan foydalanadigan Math 20D-dan tashqari kursingiz bormi? Ha bo'lsa, qaysi kurs?
  
• 
  Ushbu laboratoriyada ishlash paytida biron bir xato yoki yuzaga kelishi mumkin bo'lgan xatolarga duch keldingizmi?
  
• 
  Xatoliklar yoki tushunarsiz bayonotlar bo'lganmi? Iltimos, bizga qayerda aytib bering.
  
• 
  Laboratoriya haqida aytmoqchi bo'lgan yana bir narsa bormi?
  

Iltimos, iloji boricha aniqroq qilib qo'ying. Agar keyinroq yuborish uchun biron bir taklifingiz bo'lsa, siz MATLAB TA elektron pochta manziliga [e-mail] elektron manziliga ham yuborishingiz mumkin.