3. 3E: Runge-Kutta Usuli (Mashqlar) Matematika

Kursning rekvizitlari: Matematik 115A, Math 151A va Math 151B yoki unga tenglashtirilgan.
Uy vazifasi: Ham nazariy, ham hisoblash mashqlarini o'z ichiga olgan bir nechta topshiriqlar mavjud. Bular juma kuni darsda yig'iladi.
Imtihonlar: Bir soatlik yakuniy imtihon.
Yakuniy imtihon: 7-dekabr, juma, soat 14:00 da. Oxirgi ma'ruza davomida bir soatlik yakuniy imtihon bo'ladi.
Imtihonlar yopiq va yopiq qaydda o'tkaziladi.
Belgilanganidan tashqari bir vaqtning o'zida hech qanday imtihonlarga yo'l qo'yilmaydi (kasallik dalillari yoki favqulodda vaziyatlarda istisnolar).
Baholash tartibi: HW 70%, yakuniy 30%
Uyga haftalik topshiriqlar:
HW # 1 (5 oktyabr, juma kuni)
HW1.pdf

HW # 2 (15 oktyabr, dushanba kuni)
HW2.pdf
HW # 6 (28 noyabr chorshanba kuni yoki 30 noyabr juma kuni)
HW6.pdf HW6.tex

3.3E: Runge-Kutta usuli (mashqlar) - matematika
Siz davlat idorasida ishlaysiz va sizning ishingiz differentsial tenglamalarni sonli echimini o'z ichiga oladi deylik. Qoidalar sizning o'lchovlaringiz (0.0001 ) doirasida aniqligini talab qiladi. Siz to'rtinchi darajali global xato bilan algoritmdan foydalanmoqdasiz va uch bosqichdan foydalangan holda simulyatsiya o'tkazgandan so'ng, xato (13000 ) dan oshmasligini taxmin qildingiz. (Bu uchta juda katta qadam.) Kerakli bag'rikenglik darajasidan oldin siz qadam o'lchamini necha marta kamaytirishingiz kerak?
Qaror
Algoritm to'rtinchi tartib bo'lgani uchun, qadam kattaligini ikkiga kamaytirganimizda xatoni (16 ) ga bo'lamiz. ( Frac <13000> <16 ^ n> = 0.0001 ) tenglamasini echish uchun sizning fikr kepkangizni qanday qilib to'g'ri ((n )) ekanligini aniqlash uchun qo'yish yoki (13000) ) natija maqbul darajada bo'lguncha (16 ) tomonidan. Javob shundan iboratki, ettita halving xatolikni (0.0000484 ) darajasiga etkazadi, bu esa bag'rikenglik ichida. (To'g'ri (n ) (6.738 ) dir, shuning uchun agar siz qandaydir bir qadamni (6.738 ) marta ikki baravar qisqartirsangiz, burunga (0.0001 ) bag'rikenglikni urgan bo'lar edingiz. Albatta, hayotda oltita etarli emas, yettitasi etarli emas deganidir.)
2-mashq
Siz differentsial tenglama yechimining qiymatini baholash uchun ikkinchi darajali global xato bilan raqamli usuldan foydalandingiz va (4 ) vaqt qadamlaridan foydalanib, siz xatolikka (0,25 ) dan oshmadingiz. Xato (0.0001 ) dan kam ekanligiga ishonch hosil qilish uchun qadam hajmini necha marta kamaytirish kerak? Agar usul o'rniga beshinchi tartib bo'lsa, javob qanday o'zgaradi?
Qaror
Ikkinchi tartibli xato bilan, qadam kattaligining har ikkiga bo'linishi xatoni to'rt baravar kamaytiradi. Natijada oltita bo'linishni talab qiladigan (0.0001 ) dan kam bo'lmaguncha, biz to'rtga bir necha marta bo'linamiz. Agar biz bunga matematik ravishda yondashsak, ( frac <0.25> <4 ^ n> = 0.0001 ) ni echishimiz kerak, keyin (n ) yuqoriga qarab n = frac < log ! Left ( frac <0.25> <0.0001> right)> < log (4)> taxminan 5.644 ,, ] bizning javobimizni tasdiqlash. Because each halving doubles the number of steps, we’d have (256) in total.
If the algorithm was fifth-order error, we’d need only three steps (the relevant number is (n = 2.258) ), so there’d only be (32) steps, quite efficient in comparison.