3. 3E: Runge-Kutta Usuli (Mashqlar) Matematika

3.3E: Runge-Kutta Usuli (Mashqlar) - Matematika

Quyidagi sonli mashqlarning aksariyati 3.2-bo'limlarda berilgan mashqlarda ko'rib chiqilgan dastlabki qiymat muammolarini o'z ichiga oladi. Siz bu erda olingan natijalarni ushbu bo'limlarda olingan natijalar bilan taqqoslashni o'rganishingiz mumkin.

3.3.1-savol
In Mashqlar 3.3.1 -3.3.5 (x_i = x_0 + ih, ) nuqtalarida berilgan boshlang'ich qiymat masalasi echimining taxminiy qiymatlarini topish uchun Runge-Kutta usulidan foydalaning, bu erda (x_0 ) boshlang'ich shart qo'yilgan nuqtadir va ( i = 1 ), (2 ).
1. (y '= 2x ^ 2 + 3y ^ 2-2, quad y (2) = 1; quad h = 0.05 )
2. (y '= y + sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (0) = 1; quad h = 0.1 )
3. (y '+ 3y = x ^ 2-3xy + y ^ 2, quad y (0) = 2; quad h = 0.05 )
4. (y '= {1 + x over1-y ^ 2}, quad y (2) = 3; quad h = 0.1 )
5. (y '+ x ^ 2y = sin xy, quad y (1) = pi; quad h = 0.2 )
3.3.2-savol
6. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam kattaliklari bilan boshlangich qiymatlar masalasi echimining taxminiy qiymatlarini toping.
[y '+ 3y = 7e ^ {4x}, quad y (0) = 2, ]
(x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ), (0.3 ),…, (1.0 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni 2.1-bo'lim usuli bilan olish mumkin bo'lgan aniq echim (y = e ^ {4x} + e ^ {- 3x} ) qiymatlari bilan taqqoslang. O'zingizning natijalaringizni 3.3.1-jadval kabi jadvalda ko'rsating.
7. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam kattaliklari bilan boshlangich qiymatlar masalasi echimining taxminiy qiymatlarini toping.
[y '+ {2 x = y = {3 x ^ 3} +1, quad y (1) = 1 ]
(x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang
[y = {1 over3x ^ 2} (9 ln x + x ^ 3 + 2), ]
uni 2.1-bo'lim usuli bilan olish mumkin. O'zingizning natijalaringizni 3.3.1-jadval kabi jadvalda ko'rsating.
8. Runge-Kutta usulidan qadam kattaliklari (h = 0.05 ), (h = 0.025 ) va (h = 0.0125 ) bilan boshlangich qiymatlar masalasi echimining taxminiy qiymatlarini toping.
[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 dan x ^ 2} gacha, quad y (1) = 2 ]
(x = 1.0 ), (1.05 ), (1.10 ), (1.15 )…, (1.5 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang
[y = {x (1 + x ^ 2/3) over1-x ^ 2/3}, ]
Misolda olingan
Misol ( PageIndex {1} ):
Bu erga matn qo'shing. Avtomatik raqam ishlashi uchun siz "AutoNum" shablonini qo'shishingiz kerak (2.2.3 da afzalroq). 3.3.1-jadval kabi natijalaringizni jadvalda ko'rsating.
9. Masalan
Misol ( PageIndex {1} ):
Bu erga matn qo'shing. Avtomatik raqam ishlashi uchun siz "AutoNum" shablonini qo'shishingiz kerak (yaxshisi 2.2.3 da) ko'rsatilgandek
[y ^ 5 + y = x ^ 2 + x-4 ]
boshlang'ich qiymat muammosining yopiq echimi
[y '= {2x + 1 over5y ^ 4 + 1}, quad y (2) = 1. tag {A} ]
(H = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan Runge-Kutta usulidan foydalaning (A) eritmaning taxminiy qiymatlarini (x = 2,0) da toping. ), (2.1 ), (2.2 ), (2.3 ),…, (3.0 ). O'zingizning natijalaringizni jadval shaklida taqdim eting. Ushbu taxminiy qiymatlardagi xatoni tekshirish uchun qoldiqning yana bir jadvalini tuzing
[R (x, y) = y ^ 5 + y-x ^ 2-x + 4 ]
((x, y) ) ning birinchi jadvalda paydo bo'ladigan har bir qiymati uchun.
10. Siz misoldan ko'rishingiz mumkin
Misol ( PageIndex {1} ):
Bu erga matn qo'shing. Avtomatik raqam ishlashi uchun siz "AutoNum" shablonini qo'shishingiz kerak (yaxshisi 2.5.1 da)
[x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = 4 ]
boshlang'ich qiymat muammosining yopiq echimi
[y '= - {4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y over3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x}, quad y (1) = 1. tag {A} ]
(H = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam o'lchamlari bilan Runge-Kutta usulidan foydalaning (A) yechimining (x = 1.0) taxminiy qiymatlarini toping. ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ). Ushbu taxminiy qiymatlardagi xatoni tekshirish uchun qoldiqning yana bir jadvalini tuzing
[R (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy-4 ]
((x, y) ) ning birinchi jadvalda paydo bo'ladigan har bir qiymati uchun.
11. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam kattaliklari bilan boshlangich qiymatlar masalasi echimining taxminiy qiymatlarini toping.
[(3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0, quad y (0) = 1 quad text {(2.2.13-mashq)} ]
(x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ), (0.3 ),…, (1.0 ) da.
12. Runge-Kutta usulidan (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) va (h = 0,025 ) qadam kattaliklari bilan boshlangich qiymatlar masalasi echimining taxminiy qiymatlarini toping.
[y '+ {(y + 1) (y-1) (y-2) x + 1} = 0, quad y (1) = 0 quad text {(2.2.14-mashq)} ]
(x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ) da.
13. Runge-Kutta usuli va Runge-Kutta yarim chiziqli usulidan foydalanib, qadam o'lchamlari (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) va (h = 0.025 ) ga teng bo'lgan eritmaning taxminiy qiymatlarini toping. boshlang'ich qiymat muammosi
[y '+ 3y = e ^ {- 3x} (1-4x + 3x ^ 2-4x ^ 3), quad y (0) = - 3 ]
(x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ), (0.3 ),…, (1.0 ) da. Ushbu taxminiy qiymatlarni aniq echimning qiymatlari bilan taqqoslang (y = -e ^ {- 3x} (3-x + 2x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4) ), usuli yordamida olish mumkin. 2.1-bo'lim. Natijalar haqida alohida biron bir narsani ko'rasizmi? Tushuntiring.