3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

Koshi kriteriysi
1. Yuqorida qayd qilganimizdek, berilgan ketma-ketlikning yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlash ketma-ketliklar nazariyasining eng muhim masalalaridan biridir. Bu masalaning qanchalik murakkabligini ko'z oldimizga keltirish maqsadida quyidagi ikki savolga javob berishga urinib ko' raylik:
1) ketma-ketlik berilgan soniga yaqinlashadimi?
2) ketma-ketlik yaqinlashadimi?
Bir qarashda, bu ikki savol bir-biridan deyarli farq qilmaydi, biroq ular orasidagi farq javob qidirishni boshlashimiz bilan ko'zga yaqqol tashlanadi.
Birinchi savolga javob berish uchun ketma-ketlikdan berilgan sonni ayirib, ketma-ketlikning nolga intilishini tekshirishimiz kerak. Agar u nolga intilsa, savolga javob ijobiy, bordi-yu intilmasa, javob salbiy bo'ladi.
Ikkinchi savolga javob berish uchun esa har bir haqiqiy sonni olib, ketma-ketlikni nolga intilishini tekshirishimiz kerak. Agar u nolga yaqinlashmasa, haqiqiy sonlarni tanlashni toki ketma-ketlik yaqinlashadigan sonni topgunga qadar davom ettirish kerak. Bordi-yu barcha haqiqiy sonlarni tekshirib ko'rganimizda ham ketma-ketlik yaqinlashadigan son topilmasa, bu ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo'ladi.
Albatta, hech kim bu usulda ketma-ketlik yaqinlashishini tekshirmaydi. Buning sababi shundaki, fransuz matematigi Ogyusten Koshi ketma-ketlikning limiti bo`lishi mumkin bo'lgan sonni bilmasdan turib, ketma-ketlikning yaqinlashishini aniqlash usulini topishga muyassar bo'lgan. Gap shundaki, har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning hadlari «zichlashishi zarur, ya'ni uning elementlari bir-biri atrofida to'planishi kerak. Qizig'i shundaki, bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli ekan, ya'ni agar ketma-ketlik hadlari "zichlashsa" u yaqinlashar ekan.
Ilmiy adabiyotda biror hodisa ro'y berishining zaruriy va yetarli alomati kriteriy (yunoncha kriterion - qat'iy qaror degani) deyiladi. Shuning uchun O.Koshi topgan yaqinlashish alomatini kriteriy deb
ham atashadi.
Albatta, ketma-ketlikning yaqinlashishini ta'minlaydigan bir qancha shartlar mavjud. Bulardan biri yuqorida ko`rsatilganidek monotonlik va chegaralanganlik shartidir. Ammo bunday shartlar zaruriy bo'lmasdan, faqat yetarlidir. Shu sababli ular kriteriy bo'la olmaydi.