3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

2. Koshi kriteriysini keltirishdan avval Koshi ketma-ketligi tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif. ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Agar istalgan olganda ham shunday nomer topilsaki, barcha va lar uchun
(31)
tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik Koshi ketma-ketligi deb ataladi.
Eslatma. Matematik adabiyotda Koshi ketma-ketligi ba'zan fundamental ketma-ketlik ham deyiladi.
5-tasdiq. Har qanday Koshi ketma-ketligi chegaralangandir.
Isbot. Faraz qilaylik, - Koshi ketma-ketligi bo'lsin. U holda istalgan olinganda ham shunday nomer topiladiki, u uchun (31) shart bajariladi. Agar bu shartda desak, lar uchun
(32)
tengsizlikni olamiz.
Demak, agar deb belgilasak, barcha nomerlarda quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi:

Bu esa ketma-ketligining chegaralanganligini anglatadi.
6 - tasdiq. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik Koshi ketma-ketligidir.
Isbot. Shartga ko'ra yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo'lib, soni uning limiti bo'lsin. holda istalgan olinganda ham shunday nomer topiladiki, u uchun
(33)
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Shuning uchun agar qandaydir boshqa nomer ham shartni qanoatlantirsa,
(34)
tengsizlik bajariladi.
(33) va (34) tengsizliklardan

kelib chiqadi va demak, ning ixtiyoriyligiga ko'ra - Koshi ketma-ketligi ekan.
3. 6 - tasdiqqa teskari bo'lgan tasdiq, ya'ni har qanday Koshi ketma-ketligining yaqinlashuvchi ekanligi haqiqiy sonlar nazariyasidagi eng ajoyib natijadir.
6 - teorema (Koshi kriteriysi). Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning Koshi ketma-ketligi bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot.1) Zarurligi 6 - tasdiqda isbotlandi.
2) Yetarliligi. Har qanday Koshi ketma-ketligi yaqinlashuvchi bo'lishini isbotlaymiz. Ta'rifga ko'ra, istalgan olinganda ham shunday nomer topiladiki, u uchun (31) shart bajariladi. 6 - tasdiqqa asosan esa ketma-ketlik chegaralangan va shuning uchun 3 - teoremaga ko`ra u yuqori va quyi limitlarga ega. Ikkita va qismiy ketma-ketliklarni shunday tanlab olamizki,
(35)
munosabatlar o'rinli bo'lsin.
Endi (31) da va deb olib, ni cheksizlikka intiltirsak, (35) ga ko'ra

tengsizlik kelib chiqadi.
Bundan, ning ixtiyoriyligiga ko'ra, tenglikni olamiz. Demak, 5- teoremaga asosan ketma-ketlik yaqinlashuvchi ekan.