3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

4 - teorema (B. Bol'sano, K. Veyershtrass.) Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot 3 - teoremadan bevosita kelib chiqadi.
4. Yuqori va quyi limitlarning o'zaro teng bo'lishi ketma-ketlikning yaqinlashishini anglatadi.
5 - teorema. Ketma-ketlik faqat va faqat chegaralangan bo'lib, uning yuqori limiti quyi limitiga teng bo'lgandagina yaqinlashadi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik, ketma-ketlik yaqinlashsin. U holda, birinchidan, 2.1.7 – tasdiqqa( ketma-ketlik a songa yaqinlashishi uchun ketma-ketlikning cheksiz kichik bo'lishi zarur va yetarli) ko'ra, bu ketma-ketlik chegaralangan bo'ladi. Ikkinchidan, yaqinlashuvchi ketma-ketlikning istalgan qismiy ketma-ketligi, ravshanki, ketma-ketlik limitiga yaqinlashadi. Shuning uchun ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo'lib, uning yuqori limiti quyi limitiga teng bo'ladi.
2) Endi, faraz qilaylik, chegaralangan bo'lib, uning yuqori va quyi limitlari bitta soniga teng bo'lsin. Yuqori limit ta'rifiga ko'ra, istalgan uchun nuqta -atrofining o'ngida ketma-ketlikning oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Endi, quyi limit ta'rifiga ko'ra, nuqta - atrofining chapida ham ketma-ketlikning oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Demak, biror nomerdan boshlab, ketma-ketlikning barcha elementlari nuqtaning -atrofida yotar ekan. Bu esa ketma-ketlikning a soniga yaqinlashishini anglatadi.
5. Yuqori va quyi limit xossalarini o'rganishga o'tamiz. Avval quyidagi sodda tasdiqdan boshlaymiz.
3 - tasdiq. Har qanday chegaralangan ketma-ketlik uchun quyidagi
(20)
tengliklar o'rinli.
Isbot. Ravshanki, va ketma-ketliklar bir xil sondagi limit nuqtalarga ega. Shuningdek, agar a nuqta ketmaketlikning limit nuqtasi bo'lsa, nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'ladi. Bundan ko'rinadiki, (20) tengliklar o'rinli ekan.
Yuqori va quyi limitlar bilan limitlarga qaraganda ehtiyotlik bilan munosabatda bo'lish zarur. Masalan, mana bu ko’rinishdagi tenglikka o'xshash tenglik yuqori limitlar uchun o'rinli emas. Haqiqatan, va deylik. U holda

biroq va shuning uchun

Demak, bu misolda

Umumiy holda ketma-ketliklar yig'indisining yuqori va quyi limitlari uchun quyidagi munosabatlar o'rinli ekanini ko'rsatish oson:

va

Keyinchalik bizga quyidagi tasdiq muhim bo'ladi.