3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

Ta'rif. Agar a nuqtaning ixtiyoriy -atrofida ketma-ketlikning cheksiz ko`p elementi joylashsa, a nuqta berilgan ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi.
Masalan, 1 va nuqtalar ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Bu ketma-ketlik uchun limit nuqtalar to'plami qismiy limitlar to'plami bilan ustma-ust tushishi tasodifiy emas. Chunonchi, quyidagi ikki tasdiq o'rinli.
1 - tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning qismiy limiti shu ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, nuqta ketma-ketlikning qismiy limiti bo'lsin, ya'ni ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik mavjud bo'lsin. Shunday ekan, istalgan uchun ketma-ketlikning biror nomerdan boshlab barcha elementlari nuqtaning -atrofida yotadi. Demak, shu -atrofda ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi, ya'ni -ketma-ketlikning limit nuqtasi ekan.
Bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli.
2 - tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning limit nuqtasi shu ketma-ketlikning qismiy limiti bo'ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'lsin, ya'ni nuqtaning istalgan -atrofida ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotsin.
Musbat ga ketma-ket qiymatlarni berib, shunday intervallarni olamizki, bu intervallarning har birida ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi.
Birinchi intervalda ketma-ketlikning nomerli biror elementini tanlaymiz, ikkinchi intervalda nomerli, uchinchi intervalda nomerli, ..., - interval da nomerli va hokazo elementlarni tanlaymiz. Natijada shunday qismiy ketma-ketlik olamizki,

bo'ladi.
Demak,

ya'ni ketma-ketlik a songa yaqinlashadi. Bu esa, o'z navbatida, soni ketma-ketlikning qismiy limiti ekanini anglatadi.
3. Umuman aytganda, har qanday ketma-ketlikda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin, ammo ularning ichida eng kattasi va eng kichigi, ayniqsa, katta ahamiyatga egadir.
Ta'rif. Ketma-ketlikning eng katta qismiy limiti bu ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi.
Agar ketma-ketlikning yuqori limitini desak, u quyidagi
(18)
simvol orqali belgilanadi.
Xuddi shunga o`xshash ketma-ketlikning quyi limiti aniqlanadi.
Ta'rif. Ketma-ketlikning eng kichik qismiy limiti bu ketma-ketlikning quyi limiti deyiladi.
Agar ketma-ketlikning quyi limitini desak, u quyidagi
(19)
simvol orqali belgilanadi.
Yuqorida ikkita qismiy limitga ega bo'lgan ketma-ketlikka misol sifatida ketma-ketlik keltirilgan edi. Bu misolda qismiy limitlar 1 va ga teng. Ravshanki, bu holda

Albatta, o'z-o'zidan quyidagi savol tug'iladi: har qanday ketma-ketlikda ham limit nuqtalar bormi? Agar ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa, bu savolga javob ijobiy bo'lar ekan. Bu natija bir-biridan bog'liqsiz ravishda chex matematigi B.Bol'sano va nemis matematigi K.Veyershtrass tomonlaridan isbotlangan. Aslida, biz bu yerda bundanda umumiyroq navbatdagi tasdiqni isbotlaymiz. Shuni aytish lozimki, bordi-yu ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo'lsa, uning yuqori va quyi limitlari o'zaro teng bo'lib, ular ana shu nuqtadan iborat bo'ladi.