3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

4 - tasdiq. Agar ixtiyoriy ikki chegaralangan va ketma-ketliklar
(21)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda
(22)
tengsizliklar bajariladi.
Boshqacha aytganda, agar ikki chegaralangan ketma-ketlik tengsizlik belgisi bilan bog'langan bo'lsa, yuqori va quyi limitlar uchun ham bu tengsizliklar saqlanadi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik, ketma-ketlikning yuqori limiti va ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lsin. U holda istalgan uchun nuqtadan o'ngda ketma-ketlikning oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi. Haqiqatan, aks holda Bol'sano-Veyershtrass teoremasiga ko'ra sonidan katta qismiy limit mavjud bo'lar edi.
Demak, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik bajariladi:

Shunday ekan, (21) shartga ko'ra, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik ham bajariladi:

Demak, bu tengsizlikni ketma-ketlikning barcha limit nuqtalari ham qanoatlantiradi va xususan, uning yuqori limiti ham qanoatlantiradi, ya'ni

Bundan, ning ixtiyoriyligini hisobga olsak, tengsizlik kelib chiqadi.
2) Endi quyi limitlar uchun talab qilinayotgan munosabat 3-tasdiqdan bevosita kelib chiqadi:

ya'ni (22) ning o'ng tomonidagi tengsizlik ham o'rinli ekan.
6. Yuqoridagi tasdiqning tadbiqi sifatida navbatdagi muhim misolni keltiramiz.
4 - misol. Quyidagi ketma-ketlikni qaraymiz:
(23)
Bu ketma-ketlikning yaqinlashishini va u 2 - misolda o'rganilgan
(24)
ketma-ketlik bilan bitta limitga ega ekanini isbotlaymiz.
Ma'lumki, Nyuton binomi formulasi quyidagi

ko'rinishga ega. Agar bu formulada va desak,

tenglik hosil bo'ladi.
Bundan tenglikni qo'llab,
(25)
munosabatni olamiz.
1) (24) va (25) tengliklardan
(26)
kelib chiqadi.
2) Endi istalgan nomerni tayinlab, (25) yig'indida hadlarini sonini ta had qolguncha kamaytiramiz. U holda istalgan uchun (25) dan


tengsizlikni olamiz.
Demak,
(27)
3) Biz 2 - misolda ketma-ketlikning soniga yaqinlashishini ko'rsatgan edik. Bundan, albatta, ketma-ketlikning yuqori limiti ham e soniga tengligi kelib chiqadi. Shunday ekan, 4- tasdiqni qo`llab, (26) dan
(28)
munosabatni olamiz.
Ravshanki, ixtiyoriy tayinlangan uchun (27) ning o'ng tomoni da ga yaqinlashadi. Shuning uchun yana 4- tasdiqqa ko'ra (27) dan

kelib chiqadi va bundan da
(29)
tengsizlik hosil bo'ladi.
Nihoyat, (28) va (29) munosabatlarni taqqoslab,
(30)
tengsizliklarni olamiz.
Albatta, yuqori limit quyi limitdan kichik bo'la olmaydi. Demak, (30) dan ikkala qismiy limitlar tengligi kelib chiqadi, ya'ni 5- teoremaga ko'ra, ketma-ketlik yaqinlashar va uning limiti soni bo'lar ekan.