3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

3 - teorema. Har qanday chegaralangan ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega.
Isbot. Shartga ko'ra chegaralangan ketma-ketlik bo'lsin deylik, ya'ni shunday va o'zgarmaslar mavjudki, ular uchun

munosabat o'rinli.
Bu tengsizliklar ketma-ketlikning barcha elementlari kesmada yotishini anglatadi.
Avval biz kesmani nuqta orqali ikkita teng kesmalarga ajratamiz. Bu ikki kesmalardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o`z ichiga olganini simvol orqali belgilaymiz. Bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementini o'z ichiga olsa, sifatida bu kesmalardan o'ng tomondagisini olamiz.
So'ngra tanlangan kesmani ikkita teng kesmaga bo'lamiz va simvoli orqali ulardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olganini belgilaymiz. Yana, bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olsa, sifatida bu kesmalardan o'ng tomondagisini olamiz.
Bu jarayonni davom ettirib, biz shunday ichma-ich joylashgan kesmalar ketma-ketligini olamizki, bunda - qadamda qurilgan kesma uzunligi ga teng bo'lib, u ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o`z ichiga oladi, bundan tashqari, nuqtadan o'ngda ketma-ketlikning oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi.
Ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipiga (2-teorema) asosan ning yuqoridagi barcha kesmalariga tegishli bo`lgan nuqta mavjud va yagona. Aynan shu nuqta ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lishini isbotlaymiz. Buning uchun nuqtaning ixtiyoriy -atrofini qaraymiz. Ravshanki, biror nomerdan boshlab (ya'ni bo'lgan nomerdan boshlab), barcha kesmalar ana shu -atrofda yotadi. Shunday ekan, quyidagi tasdiqlar o'rinli bo'ladi:
1) nuqtaning -atrofida qaralayotgan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi;
2) c nuqtani -atrofining o'ngida qaralayotgan ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi.
Demak, nuqta ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi ekan. Bundan,
2-tasdiqqa ko'ra, soni ushbu ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lishi kelib chiqadi.
Quyi limitning mavjudligi xuddi shunga o'xshash ko'rsatiladi.
Isbotlangan teoremaning natijasi sifatida Bol'sano-Veyershtrass teoremasini klassik ko'rinishida keltiramiz.