3- ma’ruza: Yaqinlashish prinsipi. Reja: Monoton ketma- ketliklarning limiti sonı. Ichma ich joylashgan segmentlar printsipi

3. Yuqoridagi 1-teoremani qo`llashga misol keltiramiz.
2 - misol. Quyidagi
(9)
ketma-ketlikning yaqinlashishini ko'rsatamiz.

1. 
   O`z-o`zidan ko'rinib turgan
   

(10)
tenglikdan tengsizlikni olamiz, ya'ni ketma-ketlik o'suvchi ekan.
2) Endi bu ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan ekanini isbotlaymiz. Buning uchun
(11)
tengsizlik bajarilishini ko'rsatish yetarli.
(11) bahoni matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. Agar bo'lsa, bu baho tenglikka aylanib, u haqiqatan, o'rinli bo'ladi.
Endi (11) bahoni da to'g'ri deb, uning da ham bajarilishini ko'rsatish oson. Haqiqatan, farazimizga ko'ra, (10) tenglikdan

hosil bo'ladi, ya'ni (11) tengsizlik uchun ham to'g'ri ekan.
Demak, matematik induksiya prinsipiga asosan (11) baho istalgan da bajariladi.
Shunday qilib, ketma-ketlikning o'suvchi va yuqoridan chegaralangan ekanini ko'rsatdik. Bundan chiqdi, u yaqinlashuvchi bo'ladi.
(9) ketma-ketlik limiti harfi bilan belgilanadi. E'tibor bering, bu son uchun (9) tenglik va (11) tengsizlikdan bevosita

baho kelib chiqadi.
4. Navbatdagi misolda shunday ketma-ketlik keltirilganki, agar biz uning yaqinlashishini isbotlay olsak, u holda uning limiti oson topiladi.
3 - misol. Quyidagi
(12)
munosabat bilan aniqlangan ketma-ketlik istalgan boshlang'ich qiymat uchun yaqinlashishini isbotlang.
Shuni aytish kerakki, bunday aniqlangan ketma-ketlikda ni hisoblash uchun oldingi ga qaytib, (12) formuladan foydalanish zarur. Shuning uchun bunday ketma-ketliklar qaytadigan yoki rekurrent (yunoncha recurrere - qaytmoq so'zidan olingan) ketma-ketlik deb ataladi. Bunda - elementni birinchi ta element orqali aniqlaydigan formulaga rekurrent formula deyiladi.

1. 
   Avval ni har qanday tanlaganda ham ketma-ketlik quyidan son bilan chegaralanganini ko'rsatamiz, ya'ni birinchi nomerdan boshlab
   

(13)
tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz.
Buning uchun istalgan musbat haqiqiy soni uchun o'rinli bo'lgan
(14)
tengsizlikdan foydalanamiz.
Agar (12) da mos almashtirishlarni bajarib, (14) tengsizlikni qo'llasak, talab qilingan bahoni olamiz:
(15)
2) Endi ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini ko'rsatish oson. Haqiqatan, (12) rekurrent formulaga ko'ra

va demak,
Shunday qilib, (1)- teoremaning natijasiga asosan, ketma-ketlik biror haqiqiy soniga yaqinlashadi. Bundan chiqdi, (12) rekurrent formulada limitga o'tsak,

tenglikni olamiz. Bundan ekani kelib chiqadi. Ixtiyoriy musbat sonning kvadrat ildizini taqribiy hisoblashning ushbu usulini buyuk ingliz olimi I. Nyuton taklif qilgan.
Qayd qilamizki, (12) rekurrent formula kvadrat ildizni taqribiy hisoblashning zamonaviy kalkulyatorlarda qo'llashga qulay algoritmini beradi.