Bundan,agar

Bundan,agar bo’lsa S_n(x) = , agar bo’lsa ,unda S_n(x) = 0.Shunday qilib,


3.3-misol. {x_n} ketma ketlik ushbu x_n=ax_n-1+b formula bilan berilganda 1) x_n 2) larni x_{1 ,} a,b va na orqali ifodalang.
Isboti 1) x_k=ax_k-1+b, x_k-1 = ax_k-2 + b bo’lgani uchun

bo’ladi ya’ni

Bu formulaga ketma – ket k=2,3,4…,n qiymatlarni qo’yib, so’ngra hosil bo’lgan tengliklarni qo’shish natijasida

yoki

ga ega bo’lamiz. Bundan
( ),
Formulani hosil qilamiz .a=1 desak , u holda { } ketma- ketlikning ayirmasi b ga teng bo'lgan arifmetik progressiya ekanligiga ishonch hosil qilamiz ya’ni .
2)
S_n = x₁+a(S_n-x_n) + (n-1)b,
S_n(1-a) = x₁-ax_n + (n-1)b = ab
Bu yerdan
S_{n = +}

Formulani hosil qilamiz

3.4-misol {a_n} hadlari noldan farqli va ayirmasi d bolgan arifmetik progressiyani tashkil qilsa

Tenglikning o’rinli ekanligini isbotlang.
Isboti . tenglik o’rinli bo’lgani uchun hamda misolning shartini e’tiborga olgan holda


Ga ega bo’lamiz . Bundan (3.1) formulani e’tiborga olsak natijada isbot qilinishi kerak bo’lgan tenglikni hosil qilamiz , ya’ni


3.5-misol .Ushbu yig’indilarni hisoblang:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Yechilishi . 1)x=1 bo’lganda
Bundan arifmetik progressiya n ta hadining yig’indisini ifodalovchi
(3.2)