21-§. Algebraik tenglama va tengsizliklarni geometrik usullarni qo‘llab o‘qitish metodlari

8-masala. x>0, y>0, z>0 sonlari uchun tenglamalar sistemasi o‘rinli. S=xy+yz - yig‘indini hisoblang.
Yechim. AB kesma olib, unda S nuqta olamiz (AB=AC+CB) bunda AC=z, CB=x bo‘lsin. AB kesmani diametr qilib yarim aylana chizib olamiz va unda C nuktadan AB ga perpendikulyar o‘tkazamiz. Perpendikulyar yarim aylanani D nuqtada kesib o‘tsin. CD=y deb olsak, berilgan tenglamalar sistemasidagi barcha tenglamalar uchun o‘rinli bo‘lgan chizma hosil bo‘ladi. Bunda biz chizmada BD=4, AD=4 deb oldik.

U holda, . Javob: 16 .
9-masala. Quyidagi tenglikni qanoatlantiruvchi x va y sonlarni toping.

Yechim. Biz C nuqtadan CA=3, CB=4, CN=x, CM=y va
BCM= MCN= NCA=30° bo‘lgan kesmalar o‘tkazib olamiz.

Endi, A va B nuqtalarni tutashtiramiz. Natijada ABC to‘g‘ri burchakli uchburchak hosil bo‘ladi.

U holda AN, NM va MB kesmalar uzunliklarini kosinuslar teoremasiga asosan topsak, bu qiymatlar yuqoridagi tenglamaning chap qismidagi har bir qo‘shiluvchini beradi. Ikkinchi tomondan masala shartiga asosan AN+NM+MB=AB ekanligidan M va N nuqtalar AB gipotenuzada yotishini bilib olamiz.

Bu hosil bo‘lgan uchburchaklarga sinuslar teoremasini qo‘llasak x va y lar mos ravishda quyidagi sonlar ekanligini topamiz:
va .
10-masala. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

Yechim. Funksiyada x ning qiymati manfiy bo‘lsa, qiymat kattalashadi. Bizdan esa eng kichik qiymat so‘ralmoqda, shunga ko’ra ayta olamizki x – musbat son. Demak, masalani geometrik usulda yechish mumkin. Berilgan funksiyani eng kichik qiymatini topish uchun dastlab, quyidagi chizmani chizib olamiz:

Bunga ko‘ra, ACD to‘g‘ri burchakli uchburchakda AC=2, CD=x, va BCD uchburchakda esa BC=3, CD=x, munosabatlar o‘rinli. ACD uchburchakka Pifagor teoremasini tatbiq etsak, , BCD uchburchakka esa kosinuslar teoremasini qo‘llasak, bo‘ladi. U holda, munosabat o‘rinli bo‘ladi. uchburchakka kosinuslar teoremasini tatbiq etsak, ekanini topamiz. Javob: .
11-masala. Musbat a, b, c sonlari uchun a² + b² – ab = c² munosabat o‘rinli bo‘lsa, (a – c)(b – c) ≤ 0 tengsizlikni isbotlang.
Yechim. Uchi O nuqtada bo‘lgan AOB burchak tomonlarida OA=a va OB=b kesmalarni belgilaymiz.

A va B nuqtalarni tutashtirib, OAB uchburchakni hosil qilamiz. Bu uchburchakda AB=c tomon uchun kosinuslar teoremasini qo‘llab, a² + b² – ab = c² munosabatni hosil qilamiz. Uchburchakning c tomoni qarshisidagi burchak 60° ekanligidan c tomon uzunlik jihatidan o‘rtacha tomon bo‘lishini aniqlaymiz. U holda, uchburchak tomonlari uchun b ≤ c ≤ a yoki a ≤ c ≤ b munosabatlardan biri bajariladi. Har ikkala holatda ham (a–c)(b–c)≤0 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Tengsizlik isbotlandi. Bu tengsizlikni geometrik usullar yordamida isbotlash juda ham sodda ko‘rinishda bo‘lib, uni har qanday o‘quvchi osongina o‘zlashtirib oladi.


Mustaqil yechish uchun masalalar
1) Agar x+y+z=5 bo‘lsa, ifodaning eng kichik qiymatini toping.
2) Tenglamani yeching:
3) Tenglamalar sistemasini yeching:

4) Tenglamalar sistemasini yeching:

5) Tenglamalar sistemasining musbat yechimlarini toping.

6) Quyidagi tenglamani yeching:
7) Musbat a, b, c sonlari uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang:

8) Tenglamani yeching: