Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi

VII BOB. BO‘LINISH NAZARIYASI
34 - §. Bo‘linish belgilari.

Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi

34.1-ta’rif. Agar noldan farqli a va b butun sonlar uchun a = bq tenglikni qanoatlantiruvchi q butun son mavjud bo‘lsa, u holda a son b songa qoldiqsiz bo‘linadi (qisqacha bo‘ladi) yoki b son a sonni bo‘ladi deyiladi, hamda b a| kabi belgilanadi.
a = bq tenglikdagi a son bo‘linuvchi, b son a sonining bo‘luvchisi, q son esa bo‘linma deb ataladi.
Ravshanki, ikkita son umumiy bo‘luvchiga ega bo‘lsa, ularning yig‘indisi va ayirmasi ham shu bo‘luvchiga ega.
x, y va z butun sonlar bo‘lsa, u holda quyidagi sodda xossalar o‘rinli:

1. 
   x x| (refleksivlik hossasi);
   
2. 
   agar x y| va y z| bo‘lsa, u holda x z| (tranzitivlik hossasi);
   
3. 
   agar x y| va y x| bo‘lsa, u holda yx;
   
4. 
   agar x y| va y 0 bo‘lsa, u holda | x || y |;
   
5. 
   agar x y| va x z| bo‘lsa, u holda barcha butun , sonlar
   

uchun x | ( y  z);

6. 
   x y| bo‘lishi uchun | x | | y | bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Izoh. Shuni aytish joizki, ohirgi f) hossa bo‘linish bilan bog‘liq mulohazalarni butun sonlar uchun emas, balki natural sonlar uchun yuritishga imkon yaratadi.
34.2-teorema. Agar a  0 va b0 uchun a = bq tenglikni qanoatlantiruvchi q son mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni a = bq tenglikni qanoatlantiruvchi kamida ikkita xar hil q₁ va q₂ sonlar mavjud bo‘lsin: a bq= ₁, a bq= ₂.
U holda bu tengliklardan
b q q( ₁  ₂) = 0
kelib chiqadi. b0 ekanligi q q₁  ₂ = 0, ya’ni q₁ = q₂ bo‘ladi.
